Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei , onde:
  • indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo ;
  • indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando , e
  • é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
    Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
    b) Utilizando , determine quanto tempo é necessário para que restem dois terços da quantidade de isótopos inicialmente presente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de decaimento radioativo juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma amostra de isótopos radioativos que diminui com o tempo seguindo uma lei exponencial:
Aqui:
  • é a quantidade de átomos após o tempo .
  • é a quantidade inicial de átomos.
  • é a meia-vida do isótopo, ou seja, o tempo que leva para metade dos átomos decair.
No experimento, descobrimos que após 3 anos, dos átomos decaíram, restando da quantidade inicial. A pergunta b) quer saber quanto tempo leva para restar da quantidade inicial de átomos. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e a relação entre a quantidade restante e o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a informação de que dos átomos restaram após 3 anos para encontrar a meia-vida . A equação fica assim:
Para resolver isso, vamos aplicar o logaritmo na base 2 dos dois lados da equação:
Sabemos que , mas como não temos o valor de , vamos deixar a equação dessa forma por enquanto e resolver para .
Multiplicando ambos os lados por :
Então,

Passo 3

Agora, precisamos encontrar . Podemos usar propriedades dos logaritmos:
Como não temos o valor exato de , vamos usar aproximações. Sabemos que e , então está entre 2 e 3. Mas para simplificar, vamos deixar a expressão em termos de , já que nos foi dado .
Podemos reescrever como . Porém, sem complicar mais, vamos considerar que precisamos apenas de uma aproximação para resolver o problema.

Passo 4

Vamos retrabalhar a equação para de uma forma mais direta. Sabemos que:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, isolando :
Calculando os valores:
Sabendo que , e que , temos:
Simplificando:
Como , vamos usar o valor aproximado de . Sabendo que está entre e , podemos aproximar .
Então,

Passo 5

Agora que temos a meia-vida anos, vamos responder à parte b) da questão: quanto tempo é necessário para que restem da quantidade inicial de átomos.
Usando a fórmula do decaimento:
Vamos aplicar o logaritmo na base 2 dos dois lados:
Sabemos que , então:
Então,
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

Serão necessários aproximadamente 6 anos para que restem dois terços da quantidade de isótopos inicialmente presentes.

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Ache a derivada total , usando a regra da cadeia:
e
R.:
Ache a derivada total , usando a regra da cadeia:
e R.:
Determine o domínio máximo e a imagem de .
(f)