Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei
, onde:
-
indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo
;
-
indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando
, e
-
é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
b) Utilizando
, determine quanto tempo é necessário para que restem dois terços da quantidade de isótopos inicialmente presente.
Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
b) Utilizando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de decaimento radioativo juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma amostra de isótopos radioativos que diminui com o tempo seguindo uma lei exponencial:
Aqui:
-
é a quantidade de átomos após o tempo . -
é a quantidade inicial de átomos. -
é a meia-vida do isótopo, ou seja, o tempo que leva para metade dos átomos decair.
No experimento, descobrimos que após 3 anos,
dos átomos decaíram, restando
da quantidade inicial. A pergunta b) quer saber quanto tempo leva para restar
da quantidade inicial de átomos. Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e a relação entre a quantidade restante e o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a informação de que
dos átomos restaram após 3 anos para encontrar a meia-vida
. A equação fica assim:
Para resolver isso, vamos aplicar o logaritmo na base 2 dos dois lados da equação:
Sabemos que
, mas como não temos o valor de
, vamos deixar a equação dessa forma por enquanto e resolver para
.
Multiplicando ambos os lados por
:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
. Podemos usar propriedades dos logaritmos:
Como não temos o valor exato de
, vamos usar aproximações. Sabemos que
e
, então
está entre 2 e 3. Mas para simplificar, vamos deixar a expressão em termos de
, já que nos foi dado
.
Podemos reescrever
como
. Porém, sem complicar mais, vamos considerar que precisamos apenas de uma aproximação para resolver o problema.
Passo 4
Vamos retrabalhar a equação para
de uma forma mais direta. Sabemos que:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, isolando
:
Calculando os valores:
Sabendo que
, e que
, temos:
Simplificando:
Como
, vamos usar o valor aproximado de
. Sabendo que
está entre
e
, podemos aproximar
.
Então,
Passo 5
Agora que temos a meia-vida
anos, vamos responder à parte b) da questão: quanto tempo é necessário para que restem
da quantidade inicial de átomos.
Usando a fórmula do decaimento:
Vamos aplicar o logaritmo na base 2 dos dois lados:
Sabemos que
, então:
Então,
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
Serão necessários aproximadamente 6 anos para que restem dois terços da quantidade de isótopos inicialmente presentes.
Exercícios relacionados
Ache a derivada total
, usando a regra da cadeia:
e
R.:
R.:
Ache a derivada total
, usando a regra da cadeia:
e
R.:
Determine o domínio máximo e a imagem de
.
(f)