Ache as derivadas parciais e escreva o vetor gradiente num ponto arbitrário da função definida para
por
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais e o vetor gradiente. A função que vamos analisar é
, definida para todos os pontos
diferentes de
. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e como construir o vetor gradiente de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos tratar
como uma constante e aplicar as regras de derivação de funções compostas.
Passo 3
A função
pode ser reescrita como:
Para derivar em relação a
, usamos a regra do quociente:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Fatorando
:
Simplificando o numerador:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. De forma semelhante, tratamos
como uma constante:
Simplificando:
Passo 6
Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever o vetor gradiente
, que é composto pelas derivadas parciais em relação a
e
:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
O vetor gradiente no ponto
é:
Exercícios relacionados
Seja
uma função diferenciável num ponto a
e tal que
e
, onde
e
.
(a) Determine os pontos tais que
.
(b) Determine o gradiente .
(a) Determine os pontos
(b) Determine o gradiente
Seja
a função definida para
por
Verifique que
Conclua que não existe o limite
.
Ache o valor mínimo de
sob a condição de que
. (Aqui,
.)