Ache as derivadas parciais e escreva o vetor gradiente num ponto arbitrário da função definida para por

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais e o vetor gradiente. A função que vamos analisar é , definida para todos os pontos diferentes de . Para resolver esse problema, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e como construir o vetor gradiente de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos tratar como uma constante e aplicar as regras de derivação de funções compostas.

Passo 3

A função pode ser reescrita como:
Para derivar em relação a , usamos a regra do quociente:

Passo 4

Simplificando a expressão:
Fatorando :
Simplificando o numerador:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . De forma semelhante, tratamos como uma constante:
Simplificando:

Passo 6

Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever o vetor gradiente , que é composto pelas derivadas parciais em relação a e :

Resposta

As derivadas parciais da função são:
O vetor gradiente no ponto é:

Exercícios relacionados

Seja uma função diferenciável num ponto a e tal que e , onde e .
(a) Determine os pontos tais que .
(b) Determine o gradiente .
Seja a função definida para por
Verifique que
Conclua que não existe o limite .
Ache o valor mínimo de sob a condição de que . (Aqui, .)