Seja f uma função diferenciável num ponto a in pertence a R^2 e tal que f'(a ; y) = -1 e f'(a ; z) = 8, onde y = 5i + 8j e z = 2i - j.
(a) Determine os pontos (x, y) tais que f'(a ; x i + y j) = 5.
(b) Determine o gradiente nabla f(a).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função diferenciável em duas variáveis, , no ponto . Sabemos os derivados direcionais nessas duas direções específicas: e . O que precisamos fazer é:
(a) Encontrar os pares que fazem o derivado direcional na direção igual a 5.
(b) Determinar o gradiente da função no ponto .
Para isso, vamos usar o conceito de derivadas direcionais e gradiente. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o derivado direcional de na direção de um vetor é dado por:
Aqui, é o gradiente da função no ponto .

Passo 3

Vamos usar as informações dadas para montar um sistema de equações. Sabemos que:
Substituindo os vetores e :

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas e . Vamos resolver esse sistema.
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 5

Vamos resolver a equação (2) para :
Agora, substituímos na equação (1):

Passo 6

Simplificando:
Agora que temos , substituímos de volta para achar :

Passo 7

Agora que temos e , podemos determinar o gradiente:

Resposta

A gradiente da função no ponto é .

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