Seja
uma função diferenciável num ponto a
e tal que
e
, onde
e
.
(a) Determine os pontos
tais que
.
(b) Determine o gradiente
.
(a) Determine os pontos
(b) Determine o gradiente
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função diferenciável em duas variáveis,
, no ponto
. Sabemos os derivados direcionais nessas duas direções específicas:
e
. O que precisamos fazer é:
(a) Encontrar os pares
que fazem o derivado direcional na direção
igual a 5.
(b) Determinar o gradiente
da função no ponto
.
Para isso, vamos usar o conceito de derivadas direcionais e gradiente. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o derivado direcional de
na direção de um vetor
é dado por:
Aqui,
é o gradiente da função no ponto
.
Passo 3
Vamos usar as informações dadas para montar um sistema de equações. Sabemos que:
Substituindo os vetores
e
:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas
e
. Vamos resolver esse sistema.
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 5
Vamos resolver a equação (2) para
:
Agora, substituímos
na equação (1):
Passo 6
Simplificando:
Agora que temos
, substituímos de volta para achar
:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos determinar o gradiente:
Resposta
A gradiente da função no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Seja
a função definida para
por
Verifique que
Conclua que não existe o limite
.
Mostre que o conjunto
e
é aberto em
.
Ache as derivadas parciais e escreva o vetor gradiente num ponto arbitrário da função definida para
por
Ache o valor mínimo de
sob a condição de que
. (Aqui,
.)