Seja uma função diferenciável num ponto a e tal que e , onde e .
(a) Determine os pontos tais que .
(b) Determine o gradiente .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função diferenciável em duas variáveis, , no ponto . Sabemos os derivados direcionais nessas duas direções específicas: e . O que precisamos fazer é:
(a) Encontrar os pares que fazem o derivado direcional na direção igual a 5.
(b) Determinar o gradiente da função no ponto .
Para isso, vamos usar o conceito de derivadas direcionais e gradiente. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o derivado direcional de na direção de um vetor é dado por:
Aqui, é o gradiente da função no ponto .

Passo 3

Vamos usar as informações dadas para montar um sistema de equações. Sabemos que:
Substituindo os vetores e :

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas e . Vamos resolver esse sistema.
Primeira equação:
Segunda equação:

Passo 5

Vamos resolver a equação (2) para :
Agora, substituímos na equação (1):

Passo 6

Simplificando:
Agora que temos , substituímos de volta para achar :

Passo 7

Agora que temos e , podemos determinar o gradiente:

Resposta

A gradiente da função no ponto é .

Exercícios relacionados

Seja a função definida para por
Verifique que
Conclua que não existe o limite .
Mostre que o conjunto e é aberto em .
Ache as derivadas parciais e escreva o vetor gradiente num ponto arbitrário da função definida para por
Ache o valor mínimo de sob a condição de que . (Aqui, .)