Ache o valor mínimo de sob a condição de que . (Aqui, .)

Passo 1

Vamos resolver um problema de otimização onde precisamos encontrar o valor mínimo de com a condição de que , sendo e . Para isso, vamos usar conceitos de desigualdades matemáticas, especificamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a condição dada no problema:
Queremos encontrar o menor valor possível para .

Passo 3

Vamos aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que nos diz que para quaisquer números positivos:
Essa desigualdade ajuda a relacionar as somas dos termos e seus inversos.

Passo 4

Sabendo que , podemos substituir na desigualdade:
Portanto:
Isso nos mostra que não pode ser menor que .

Passo 5

O valor mínimo de ocorre exatamente quando a desigualdade de Cauchy-Schwarz se torna uma igualdade. Isso acontece quando:
Ou seja, os termos estão proporcionais a respectivamente.

Resposta

O valor mínimo de é .

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Ache as derivadas parciais e escreva o vetor gradiente num ponto arbitrário da função definida para por
Seja uma função diferenciável num ponto a e tal que e , onde e .
(a) Determine os pontos tais que .
(b) Determine o gradiente .
Calcule.
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