Ache o valor mínimo de
sob a condição de que
. (Aqui,
.)
Passo 1
Vamos resolver um problema de otimização onde precisamos encontrar o valor mínimo de
com a condição de que
, sendo
e
. Para isso, vamos usar conceitos de desigualdades matemáticas, especificamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a condição dada no problema:
Queremos encontrar o menor valor possível para
.
Passo 3
Vamos aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que nos diz que para quaisquer números positivos:
Essa desigualdade ajuda a relacionar as somas dos termos e seus inversos.
Passo 4
Sabendo que
, podemos substituir na desigualdade:
Portanto:
Isso nos mostra que
não pode ser menor que
.
Passo 5
O valor mínimo de
ocorre exatamente quando a desigualdade de Cauchy-Schwarz se torna uma igualdade. Isso acontece quando:
Ou seja, os termos
estão proporcionais a
respectivamente.
Resposta
O valor mínimo de
é
.
Exercícios relacionados
Ache as derivadas parciais e escreva o vetor gradiente num ponto arbitrário da função definida para
por
Seja
uma função diferenciável num ponto a
e tal que
e
, onde
e
.
(a) Determine os pontos tais que
.
(b) Determine o gradiente .
(a) Determine os pontos
(b) Determine o gradiente
Calcule.
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