Ache o valor mínimo de x + y + z sob a condição de que a/x + b/y + c/z = 1 e x, y, z > 0. (Aqui, a, b, c > 0.)

Passo 1

Vamos resolver um problema de otimização onde precisamos encontrar o valor mínimo de com a condição de que , sendo e . Para isso, vamos usar conceitos de desigualdades matemáticas, especificamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a condição dada no problema:
Queremos encontrar o menor valor possível para .

Passo 3

Vamos aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que nos diz que para quaisquer números positivos:
Essa desigualdade ajuda a relacionar as somas dos termos e seus inversos.

Passo 4

Sabendo que , podemos substituir na desigualdade:
Portanto:
Isso nos mostra que não pode ser menor que .

Passo 5

O valor mínimo de ocorre exatamente quando a desigualdade de Cauchy-Schwarz se torna uma igualdade. Isso acontece quando:
Ou seja, os termos estão proporcionais a respectivamente.

Resposta

O valor mínimo de é .

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