Seja
a função definida para
por
Verifique que
Conclua que não existe o limite
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida para
. O objetivo é calcular dois limites iterados:
-
-
E, a partir disso, concluir que o limite geralnão existe. Para resolver isso, vamos calcular cada limite passo a passo, explicando as regras de limite que usamos.
Passo 2
Vamos começar calculando
mantendo
fixo. A função fica:
Ao fazer
aproximar-se de 0:
Sabemos que
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular
mantendo
fixo:
Ao fazer
aproximar-se de 0:
Sabemos que
. Então:
Passo 4
Observamos que os dois limites iterados não são iguais:
Isso indica que o limite geral
depende da ordem em que
e
se aproximam de 0, ou seja, o limite não é único.
Resposta
Portanto, como os limites iterados são diferentes, concluímos que o limite
não existe.
Exercícios relacionados
Mostre que o conjunto
e
é aberto em
.
Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados.
se
se
Seja
uma função diferenciável num ponto a
e tal que
e
, onde
e
.
(a) Determine os pontos tais que
.
(b) Determine o gradiente .
(a) Determine os pontos
(b) Determine o gradiente
Ache as derivadas parciais e escreva o vetor gradiente num ponto arbitrário da função definida para
por