Seja a função definida para por
Verifique que
Conclua que não existe o limite .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida para . O objetivo é calcular dois limites iterados:

  1. E, a partir disso, concluir que o limite geral não existe. Para resolver isso, vamos calcular cada limite passo a passo, explicando as regras de limite que usamos.

Passo 2

Vamos começar calculando mantendo fixo. A função fica:
Ao fazer aproximar-se de 0:
Sabemos que . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular mantendo fixo:
Ao fazer aproximar-se de 0:
Sabemos que . Então:

Passo 4

Observamos que os dois limites iterados não são iguais:
Isso indica que o limite geral depende da ordem em que e se aproximam de 0, ou seja, o limite não é único.

Resposta

Portanto, como os limites iterados são diferentes, concluímos que o limite não existe.

Exercícios relacionados

Mostre que o conjunto e é aberto em .
Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados.
se
se
Seja uma função diferenciável num ponto a e tal que e , onde e .
(a) Determine os pontos tais que .
(b) Determine o gradiente .
Ache as derivadas parciais e escreva o vetor gradiente num ponto arbitrário da função definida para por