Seja f a função definida para x neq y por
f(x, y)=sen x+sen yx-y
Verifique que
lim x 0[lim y 0 f(x, y)]=1 e lim y 0[lim x 0 f(x, y)]=-1
Conclua que não existe o limite lim (x, y) (0,0) f(x, y).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida para . O objetivo é calcular dois limites iterados:

  1. E, a partir disso, concluir que o limite geral não existe. Para resolver isso, vamos calcular cada limite passo a passo, explicando as regras de limite que usamos.

Passo 2

Vamos começar calculando f(x, y) = sin x + sin yx - y mantendo limy 0 f(x, y) = sin x + sin 0x - 0 = sin xx fixo. A função fica:
limx 0 [ limy 0 f(x, y) ] = limx 0 sin xx = 1
Ao fazer aproximar-se de 0:
Sabemos que . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular f(x, y) = sin x + sin yx - y mantendo limx 0 f(x, y) = sin 0 + sin y0 - y = sin y-y = -sin yy fixo:
limy 0 [ limx 0 f(x, y) ] = limy 0 ( -sin yy ) = -1
Ao fazer aproximar-se de 0:
Sabemos que . Então:

Passo 4

Observamos que os dois limites iterados não são iguais:
limx 0 [ limy 0 f(x, y) ] = 1 neq -1 = limy 0 [ limx 0 f(x, y) ]
Isso indica que o limite geral depende da ordem em que e se aproximam de 0, ou seja, o limite não é único.

Resposta

Portanto, como os limites iterados são diferentes, concluímos que o limite não existe.

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