Nos exercícios a seguir utilize as propriedades de derivadas para os cálculos.
(m) Seja f(x) = tg(2/x), calcule f'(x) e f'(0).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcularmos a derivada da função e também o valor dessa derivada quando . Vamos trabalhar com cálculo diferencial, mais especificamente usando as propriedades das derivadas e a regra da cadeia. Precisaremos lembrar como derivar a função tangente e como aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
A regra da cadeia diz que se temos uma função composta , a derivada é .
No nosso caso, e . Então, vamos derivar em relação a e depois multiplicar pela derivada de em relação a .

Passo 3

Primeiro, vamos derivar :
Agora, derivamos em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
Portanto,

Passo 5

Agora, precisamos calcular . Mas atenção: a função não está definida para porque teríamos uma divisão por zero dentro da tangente. Portanto, não existe.

Resposta

A derivada da função é:
E não existe, pois a função não está definida em .

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