Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral dupla, ou seja, uma integral dentro de outra. O conteúdo que vamos usar envolve integrais múltiplas e integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função em duas variáveis, primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Começamos avaliando a integral interna, que é em relação a :
Perceba que dentro dessa integral, o integrando, , não depende de . Isso simplifica a integração, pois podemos tratar como uma constante em relação a .
Passo 3
Então, integramos em relação a :
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 x^2 sin(x^3) , dx
Agora precisamos resolver esta integral em relação a .
Passo 5
Para resolver a integral du = 3x^2 , dx implies du3 = x^2 , dx , usamos a substituição. Vamos fazer , então:
Passo 6
Substituindo na integral:
integral x^2 sin(x^3) , dx = integral sin(u) cdot du3 = 13 integral sin(u) , du = -13 cos(u) + C = -13 cos(x^3) + C
Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites: