Calcule as integrais duplas
c) integral0^1 integral0^x 2 sin (x^3) d y d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral dupla, ou seja, uma integral dentro de outra. O conteúdo que vamos usar envolve integrais múltiplas e integração de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função em duas variáveis, primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Começamos avaliando a integral interna, que é em relação a integral0^x^2 sin(x^3) , dy :
Perceba que dentro dessa integral, o integrando, , não depende de . Isso simplifica a integração, pois podemos tratar como uma constante em relação a .

Passo 3

Então, integramos integral0^x^2 sin(x^3) , dy = sin(x^3) cdot y g|0^x^2 = sin(x^3) cdot x^2 - sin(x^3) cdot 0 = x^2 sin(x^3) em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 x^2 sin(x^3) , dx
Agora precisamos resolver esta integral em relação a .

Passo 5

Para resolver a integral du = 3x^2 , dx implies du3 = x^2 , dx , usamos a substituição. Vamos fazer , então:

Passo 6

Substituindo na integral:
integral x^2 sin(x^3) , dx = integral sin(u) cdot du3 = 13 integral sin(u) , du = -13 cos(u) + C = -13 cos(x^3) + C
Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites:

Passo 7

Avaliar de -13 cos(x^3) g|0^1 = -13 cos(1) + 13 cos(0) = 13 (cos(0) - cos(1)) = 13 (1 - cos(1)) a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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