Ache as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar derivadas parciais de várias funções. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas em funções de várias variáveis. Vamos precisar saber como calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem, além de aplicar regras como a da cadeia. Vamos resolver cada item passo a passo.
Passo 2
a)
; encontrar
e
Primeiro, vamos entender o que significa
e
. Esses índices indicam a ordem das derivadas parciais:
-
significa: derivar primeiro em , depois em , e novamente em . -
significa: derivar primeiro duas vezes em , depois em .
Passo 3
Calculando
:
- Primeira derivada em
: - Segunda derivada em
: - Terceira derivada em
:
Calculando
:
- Primeira derivada em
: - Segunda derivada em
: - Terceira derivada em
:
Passo 4
b)
; encontrar
e
Aqui,
significa derivar primeiro em
e depois em
, e
significa derivar primeiro em
e depois em
.
Passo 5
Calculando
:
- Primeira derivada em
: - Segunda derivada em
:
Calculando
:
- Primeira derivada em
: - Segunda derivada em
:
Passo 6
c)
; encontrar
e
Os índices indicam a ordem das derivadas: por exemplo,
significa derivar em
, depois em
, e depois em
.
Passo 7
Calculando
:
- Primeira derivada em
: - Segunda derivada em
: - Terceira derivada em
: Contudo, simplificando a expressão correta:
Calculando
:
- Primeira derivada em
: - Segunda derivada em
: - Terceira derivada em
: Simplificando:
Passo 8
d)
; encontrar
e
Os índices indicam a ordem das derivadas parciais. Vamos calcular passo a passo.
Passo 9
Calculando
:
- Primeira derivada em
: - Segunda derivada em
: - Terceira derivada em
: Simplificando:
Calculando
:
- Primeira derivada em
: - Segunda derivada em
: - Terceira derivada em
:
Resposta
a)
b)
c)
d)
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em que
, para calcular.
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