Ache as derivadas parciais indicadas.
& a) f(x, y)=2 x^3 y+5 x^2 y^2-3 x y^2 ; f121(x, y), f211(x, y) & b) f(x, y, z)=sen(x y z) ; f23(x, y, z), f12(x, y, z) & c) f(r, s, t)=ln (r^2+4 s^2-5 t^2) ; f132(r, s, t), f122(r, s, t) & d) f(x, y, z)=arctg(3 x y z) ; f113(x, y, z), f123(x, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar derivadas parciais de várias funções. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas em funções de várias variáveis. Vamos precisar saber como calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem, além de aplicar regras como a da cadeia. Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

a) ; encontrar e

Primeiro, vamos entender o que significa e . Esses índices indicam a ordem das derivadas parciais:
  • significa: derivar primeiro em , depois em , e novamente em .
  • significa: derivar primeiro duas vezes em , depois em .

Passo 3

Calculando fx = partial fpartial x = 6x^2y + 10xy^2 - 3y^2 :

  1. Primeira derivada em fxy = partial fxpartial y = 6x^2 + 20xy - 6y : f121 = partial fxypartial x = 12x + 20y
  2. Segunda derivada em fx = 6x^2y + 10xy^2 - 3y^2 : fxx = partial fxpartial x = 12xy + 10y^2
  3. Terceira derivada em f211 = partial fxxpartial y = 12x + 20y :

Calculando :

  1. Primeira derivada em :
  2. Segunda derivada em :
  3. Terceira derivada em :

Passo 4

b) ; encontrar e

Aqui, significa derivar primeiro em e depois em , e significa derivar primeiro em e depois em .

Passo 5

Calculando fy = partial fpartial y = xz cos(xyz) :

  1. Primeira derivada em fyz = partial fypartial z = x cos(xyz) - x^2y z sin(xyz) : fx = partial fpartial x = yz cos(xyz)
  2. Segunda derivada em fxy = partial fxpartial y = z cos(xyz) - x z^2 sin(xyz) :

Calculando :

  1. Primeira derivada em :
  2. Segunda derivada em :

Passo 6

c) ; encontrar e

Os índices indicam a ordem das derivadas: por exemplo, significa derivar em , depois em , e depois em .

Passo 7

Calculando fr = partial fpartial r = 2rr^2 + 4s^2 - 5t^2 :

  1. Primeira derivada em frs = partial frpartial s = -8rs(r^2 + 4s^2 - 5t^2)^2 : frst = partial frspartial t = 40rs t(r^2 + 4s^2 - 5t^2)^3 times 2 (derivada da denom)
  2. Segunda derivada em f132 = 40rs t(r^2 + 4s^2 - 5t^2)^3 : fr = 2rr^2 + 4s^2 - 5t^2
  3. Terceira derivada em frs = -8rs(r^2 + 4s^2 - 5t^2)^2 : frss = -8r (r^2 + 4s^2 - 5t^2)^2 - (-8rs)(8s)(r^2 + 4s^2 - 5t^2)^4 = -8r (r^2 + 4s^2 - 5t^2) + 64r s^2(r^2 + 4s^2 - 5t^2)^3 Contudo, simplificando a expressão correta: f122 = -8r r^2 -32r s^2 + 40r t^2 + 64r s^2(r^2 + 4s^2 - 5t^2)^3 = -8r^3 +32r s^2 +40r t^2(r^2 + 4s^2 - 5t^2)^3

Calculando :

  1. Primeira derivada em :
  2. Segunda derivada em :
  3. Terceira derivada em : Simplificando:

Passo 8

d) ; encontrar e

Os índices indicam a ordem das derivadas parciais. Vamos calcular passo a passo.

Passo 9

Calculando fx = partial fpartial x = 3yz1 + (3xyz)^2 :

  1. Primeira derivada em fxx = partial fxpartial x = -18y^3z^3 (1 + (3xyz)^2)^2 : fxxz = partial fxxpartial z = -54y^3z^2(1 + (3xyz)^2) + 108y^4 z^4 (1 + (3xyz)^2)^3
  2. Segunda derivada em f113 = -54y^3z^2 + 108y^4z^4 (1 + 9x^2y^2z^2)^3 : fx = 3yz1 + 9x^2y^2z^2
  3. Terceira derivada em fxy = 3z1 + 9x^2y^2z^2 - 54x^2y z^3(1 + 9x^2y^2z^2)^2 : fxyz = 31 + 9x^2y^2z^2 - 54x^2y^2z^2(1 + 9x^2y^2z^2)^2 - 162x^2y z^4(1 + 9x^2y^2z^2)^3 Simplificando:

Calculando :

  1. Primeira derivada em :
  2. Segunda derivada em :
  3. Terceira derivada em :

Resposta

a)
f121(x, y) = 12x + 20y
f211(x, y) = 12x + 20y
b)
f23(x, y, z) = x cos(xyz) - x^2y z sin(xyz)
f12(x, y, z) = z cos(xyz) - x z^2 sin(xyz)
c)
f132(r, s, t) = 40rs t(r^2 + 4s^2 - 5t^2)^3
f122(r, s, t) = -8r^3 +32r s^2 +40r t^2(r^2 + 4s^2 - 5t^2)^3
d)
f113(x, y, z) = -54y^3z^2 + 108y^4z^4 (1 + 9x^2y^2z^2)^3
f123(x, y, z) = 31 + 9x^2y^2z^2 - 54x^2y^2z^2(1 + 9x^2y^2z^2)^2 - 162x^2y z^4(1 + 9x^2y^2z^2)^3

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