Ache as derivadas parciais indicadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar derivadas parciais de várias funções. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas em funções de várias variáveis. Vamos precisar saber como calcular derivadas parciais de primeira e segunda ordem, além de aplicar regras como a da cadeia. Vamos resolver cada item passo a passo.

Passo 2

a) ; encontrar e

Primeiro, vamos entender o que significa e . Esses índices indicam a ordem das derivadas parciais:
  • significa: derivar primeiro em , depois em , e novamente em .
  • significa: derivar primeiro duas vezes em , depois em .

Passo 3

Calculando :

  1. Primeira derivada em :
  2. Segunda derivada em :
  3. Terceira derivada em :

Calculando :

  1. Primeira derivada em :
  2. Segunda derivada em :
  3. Terceira derivada em :

Passo 4

b) ; encontrar e

Aqui, significa derivar primeiro em e depois em , e significa derivar primeiro em e depois em .

Passo 5

Calculando :

  1. Primeira derivada em :
  2. Segunda derivada em :

Calculando :

  1. Primeira derivada em :
  2. Segunda derivada em :

Passo 6

c) ; encontrar e

Os índices indicam a ordem das derivadas: por exemplo, significa derivar em , depois em , e depois em .

Passo 7

Calculando :

  1. Primeira derivada em :
  2. Segunda derivada em :
  3. Terceira derivada em : Contudo, simplificando a expressão correta:

Calculando :

  1. Primeira derivada em :
  2. Segunda derivada em :
  3. Terceira derivada em : Simplificando:

Passo 8

d) ; encontrar e

Os índices indicam a ordem das derivadas parciais. Vamos calcular passo a passo.

Passo 9

Calculando :

  1. Primeira derivada em :
  2. Segunda derivada em :
  3. Terceira derivada em : Simplificando:

Calculando :

  1. Primeira derivada em :
  2. Segunda derivada em :
  3. Terceira derivada em :

Resposta

a)
b)
c)
d)

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