Aplique a transformada de Laplace nos problemas lineares de valor inicial:
7.2.
7.2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. Especificamente, temos:
Isso faz parte da matéria de equações diferenciais lineares de valor inicial. Para resolver, vamos aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. A Transformada de Laplace converte a equação diferencial em uma equação algébrica, que é mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, vamos lembrar das propriedades da Transformada de Laplace para derivadas. Sabemos que:
E também:
Onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 4
Substituindo essas propriedades na equação original, temos:
Sabendo que
e
, podemos simplificar:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a Transformada de Laplace de
. Sabemos que:
Aplicando isso com
:
Passo 6
Substituindo de volta na equação:
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar
. Sabemos que:
E também:
Aplicando isso com
:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial é: