Aplique a transformada de Laplace nos problemas lineares de valor inicial:
7.2. y'' + 16y = cos(4t), y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial usando a Transformada de Laplace. Especificamente, temos:
Isso faz parte da matéria de equações diferenciais lineares de valor inicial. Para resolver, vamos aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. A Transformada de Laplace converte a equação diferencial em uma equação algébrica, que é mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos lembrar das propriedades da Transformada de Laplace para derivadas. Sabemos que:
E também:
Onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 4

Substituindo essas propriedades na equação original, temos:
Sabendo que e , podemos simplificar:
Então:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a Transformada de Laplace de . Sabemos que:
Aplicando isso com :

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar . Sabemos que:
E também:
Aplicando isso com :

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:

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