Use as formas inversas dos Teoremas de Translações, para calcular:
5.7.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso cai no conteúdo de Transformadas de Laplace e mais especificamente nos Teoremas de Translações. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão algébrica e aplicar as propriedades das transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que temos: . Para facilitar a aplicação dos teoremas, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar . Assim, .
Substituindo na nossa expressão:

Passo 3

Agora, expandimos o numerador:
Então, temos:

Passo 4

Agora, voltando à variável original , já que , substituímos de volta:

Passo 5

Vamos aplicar a transformada inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso para cada termo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 6

Agora, juntando todas as partes:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:

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Resolva as seguintes desigualdades: b)
Use as formas inversas dos Teoremas de Translações, para calcular:
5.2.
Resolva:
6.9.
Ache as derivadas parciais indicadas.