Resolva:
6.9.
6.9.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa transformação inversa de Laplace:
. Aqui, estamos trabalhando com a matéria de Transformadas de Laplace, que nos ajuda a passar de funções no domínio da frequência para o domínio do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que serve pra decompormos a fração em partes mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a nossa função
como uma soma de frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos resolver para
e
.
Passo 4
Escolhemos valores de
que simplifiquem a equação. Primeiro, colocando
:
Agora, colocando
:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a transformação inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Então, aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
A transformação inversa de Laplace é:
Exercícios relacionados
Use as formas inversas dos Teoremas de Translações, para calcular:
5.7.
5.7.
Resolva as seguintes desigualdades: b)
Ache as derivadas parciais indicadas.
Aplique a transformada de Laplace nos problemas lineares de valor inicial:
7.2.
7.2.