Ache as derivadas parciais primeiras de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as derivadas parciais primeiras da função . Isso faz parte da Cálculo Diferencial, especificamente no estudo de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos calcular a derivada de em relação a cada uma das variáveis , e separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente denota por . Quando derivamos em relação a , tratamos e como constantes.
A função é:
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é (usamos a regra do poder).
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , já que não há nesse termo.
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes.
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , já que não há nesse termo.
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , representada por . Aqui, e são tratados como constantes.
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , já que não há nesse termo.
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Resposta

As derivadas parciais primeiras de são:

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Considere uma usina a vapor de água operando segundo o ciclo de Rankine ideal. Vapor entra na turbina a 16 MPa e e é condensado no condensador à pressão de 100 kPa . Sabendo que a bomba tem eficiência isentrópica de e a turbina de , determine a eficiência térmica dessa usina e a potência líquida para um fluxo de .
Ache as derivadas parciais primeiras de .
Ache as derivadas parciais primeiras de .
Determine a derivada das seguintes funções (Regra da Cadeia):