Ache as derivadas parciais primeiras de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais primeiras da função . Aqui estamos lidando com cálculo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática que estuda como uma função muda em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Para isso, vamos precisar aplicar as regras básicas de derivação em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que vamos derivar a função tratando e como constantes.

Passo 3

derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é (usamos a regra do poder multiplicada pela constante ).
  • A derivada de em relação a é (já que é uma constante multiplicando ).

Passo 4

Agora, somamos as derivadas encontradas:

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes.

Passo 6

derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é (porque não há nessa parte).
  • A derivada de em relação a é (usamos a regra do poder para multiplicada por ).

Passo 7

Somando as derivadas:

Passo 8

Por último, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes.

Passo 9

derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é (porque é uma constante multiplicando ).
  • A derivada de em relação a é (já que não há nessa parte).

Resposta

As derivadas parciais primeiras de são:

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Calcule as integrais abaixo:
Considere uma usina a vapor de água operando segundo o ciclo de Rankine ideal. Vapor entra na turbina a 16 MPa e e é condensado no condensador à pressão de 100 kPa . Sabendo que a bomba tem eficiência isentrópica de e a turbina de , determine a eficiência térmica dessa usina e a potência líquida para um fluxo de .
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