Ache as derivadas parciais primeiras de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as derivadas parciais primeiras da função . Isso faz parte do estudo de derivadas parciais, que são usadas quando uma função tem várias variáveis e queremos ver como ela muda em relação a cada uma delas, mantendo as outras constantes. Vamos precisar aplicar regras básicas de derivação para funções polinomiais, trigonométricas, exponenciais e radicais.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a , ou seja, . Quando fazemos a derivada parcial em relação a uma variável, tratamos todas as outras como constantes.
  • A primeira parte da função é . Como estamos derivando em relação a , consideramos como uma constante. A derivada de é , então essa parte vira .
  • A segunda parte é . Aqui, não tem , então a derivada dessa parte é 0.
  • A terceira parte é . Também não tem , então a derivada é 0.
Juntando tudo:

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada parcial em relação a , .
  • A primeira parte : aqui, é constante em relação a . A derivada de é , então essa parte vira .
  • A segunda parte : é constante em relação a . A derivada de é , então essa parte vira .
  • A terceira parte não depende de , então a derivada é 0.
Juntando tudo:

Passo 4

Vamos para a derivada parcial em relação a , .
  • A primeira parte não tem , então a derivada é 0.
  • A segunda parte : é constante em relação a . A derivada de é , então essa parte vira .
  • A terceira parte : aqui, a derivada de é , então essa parte vira .
Juntando tudo:

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial em relação a , .
  • A primeira parte não tem , então a derivada é 0.
  • A segunda parte também não tem , então a derivada é 0.
  • A terceira parte : aqui, é constante em relação a . A derivada de é , então essa parte vira .
Juntando tudo:

Resposta

As derivadas parciais primeiras de são:

Exercícios relacionados

Determine a derivada das seguintes funções (Regra da Cadeia):
Ache as derivadas parciais primeiras de .
Encontre diferenciando implicitamente:
Ache as derivadas parciais primeiras de .