Ache as derivadas parciais primeiras de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as derivadas parciais primeiras da função
. Isso faz parte do estudo de derivadas parciais, que são usadas quando uma função tem várias variáveis e queremos ver como ela muda em relação a cada uma delas, mantendo as outras constantes. Vamos precisar aplicar regras básicas de derivação para funções polinomiais, trigonométricas, exponenciais e radicais.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Quando fazemos a derivada parcial em relação a uma variável, tratamos todas as outras como constantes.
-
A primeira parte da função é
. Como estamos derivando em relação a , consideramos como uma constante. A derivada de é , então essa parte vira . -
A segunda parte é
. Aqui, não tem , então a derivada dessa parte é 0. -
A terceira parte é
. Também não tem , então a derivada é 0.
Juntando tudo:
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada parcial em relação a
,
.
-
A primeira parte
: aqui, é constante em relação a . A derivada de é , então essa parte vira . -
A segunda parte
: é constante em relação a . A derivada de é , então essa parte vira . -
A terceira parte
não depende de , então a derivada é 0.
Juntando tudo:
Passo 4
Vamos para a derivada parcial em relação a
,
.
-
A primeira parte
não tem , então a derivada é 0. -
A segunda parte
: é constante em relação a . A derivada de é , então essa parte vira . -
A terceira parte
: aqui, a derivada de é , então essa parte vira .
Juntando tudo:
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial em relação a
,
.
-
A primeira parte
não tem , então a derivada é 0. -
A segunda parte
também não tem , então a derivada é 0. -
A terceira parte
: aqui, é constante em relação a . A derivada de é , então essa parte vira .
Juntando tudo:
Resposta
As derivadas parciais primeiras de
são:
Exercícios relacionados
Determine a derivada das seguintes funções (Regra da Cadeia):
Ache as derivadas parciais primeiras de
.
Encontre
diferenciando implicitamente:
Ache as derivadas parciais primeiras de
.