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diferenciando implicitamente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte função para derivar:
. O que isso significa? A gente quer encontrar a taxa de variação de
em relação a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação implícita e algumas propriedades de logaritmos e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função usando logaritmos. Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a diferenciação:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, usamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas no lado direito:
- A derivada de
é . - A derivada de
usa a regra da cadeia: .
Então, substituindo:
Passo 6
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: