Encontre diferenciando implicitamente:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte função para derivar: . O que isso significa? A gente quer encontrar a taxa de variação de em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar a **diferenciação implícita** e algumas propriedades de logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função usando logaritmos. Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a diferenciação:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar o lado direito:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , usamos a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas no lado direito: 1. A derivada de é . 2. A derivada de usa a regra da cadeia: . Então, substituindo:

Passo 6

Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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