Ache as derivadas parciais primeiras de
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A função que temos é
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação, como a regra do produto e as derivadas de funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
é o produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto à função
:
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Agora, vamos derivar
em relação a
.
Passo 4
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. Primeiro, reconhecemos que
, mas como
é uma variável independente de
, sua derivada em relação a
é zero. Portanto:
Passo 5
Substituindo as derivadas encontradas de volta na expressão original:
Simplificando, podemos fatorar
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra do produto:
Como
não depende de
, sua derivada em relação a
é zero. Então, ficamos apenas com:
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
As derivadas parciais primeiras de
são:
e
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
Use coordenadas cilíndricas e calcule
onde
é o sólido
e
Ache as derivadas parciais primeiras de
.
Considere uma usina a vapor de água operando segundo o ciclo de Rankine ideal. Vapor entra na turbina a 16 MPa e
e é condensado no condensador à pressão de 100 kPa . Sabendo que a bomba tem eficiência isentrópica de
e a turbina de
, determine a eficiência térmica dessa usina e a potência líquida para um fluxo de
.