Ache as derivadas parciais primeiras de .

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. A função que temos é . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação, como a regra do produto e as derivadas de funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é o produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que .

Passo 3

Aplicando a regra do produto à função :
Sabemos que a derivada de em relação a é . Agora, vamos derivar em relação a .

Passo 4

Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia. Primeiro, reconhecemos que , mas como é uma variável independente de , sua derivada em relação a é zero. Portanto:

Passo 5

Substituindo as derivadas encontradas de volta na expressão original:
Simplificando, podemos fatorar :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra do produto:
Como não depende de , sua derivada em relação a é zero. Então, ficamos apenas com:

Passo 7

Derivando em relação a :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

As derivadas parciais primeiras de são:
e

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Ache as derivadas parciais primeiras de .
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