Use coordenadas cilíndricas e calcule onde é o sólido e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume triplo da função dentro de uma região definida por certas condições. Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são super úteis para lidar com regiões circulares ou cilindricas. Vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas cilíndricas e estabelecer os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A condição pode ser reescrita para facilitar a visualização. Completando o quadrado em , temos:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado no ponto . Como temos as condições e , estamos lidando apenas com o primeiro quadrante desse círculo.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas, as variáveis são (distância do ponto à origem), (ângulo com o eixo ) e (altura). As conversões são:
Também, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Passo 4
Vamos determinar os limites para cada variável. Para , como estamos no primeiro quadrante, .
Para , observamos que o círculo em coordenadas cilíndricas fica:
Resolvendo essa equação para :
Então, ou . Como , os limites para são de 0 a .
Passo 5
Para , a condição dada é . Em coordenadas cilíndricas, isso se torna:
Então, os limites para são de 0 a .
Passo 6
Agora, vamos expressar a função a ser integrada em coordenadas cilíndricas:
Portanto, a integral tripla fica:
Passo 7
Vamos integrar em ordem: primeiro em , depois em e finalmente em .
A integral fica:
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a :
Passo 9
Simplificando a expressão:
Passo 10
Agora, integramos em relação a :
Isso resulta em:
Substituindo :
Passo 11
Finalmente, integramos em relação a :
Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração por partes e substituições trigonométricas.
Resposta
Após calcular todas as integrais, o valor final da integral tripla é .