Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas duas integrais que você enviou! A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, mais especificamente técnicas de frações parciais e integração direta. Vamos precisar separar as frações de maneira adequada e lembrar de algumas regras básicas de integração para chegar nas respostas finais.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
Para resolver essa integral, vamos usar o método de frações parciais. Esse método serve para decompor uma fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 3

Primeiro, vamos assumir que a fração pode ser escrita como a soma de frações mais simples:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de , , e substituindo valores estratégicos de .

Passo 5

Vamos escolher :
Então, .
Agora, vamos escolher :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos expandir a equação original para encontrar e . Voltando à equação:
Expandindo e agrupando os termos, podemos comparar os coeficientes de potências iguais de para resolver e . Após os cálculos, obtemos:

Passo 7

Agora que temos todos os valores, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

Somando todas as integrais, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 10

Agora, vamos para a segunda integral:
Podemos simplificar essa fração antes de integrar.

Passo 11

Dividindo por , temos:
Isso porque:

Passo 12

Agora, integramos cada termo separadamente:

Passo 13

Somando as integrais, temos:
onde é a constante de integração.

Resposta

A primeira integral é:
E a segunda integral é:

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Ache as derivadas parciais primeiras de .
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