Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essas duas integrais que você enviou! A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, mais especificamente técnicas de frações parciais e integração direta. Vamos precisar separar as frações de maneira adequada e lembrar de algumas regras básicas de integração para chegar nas respostas finais.
Passo 2
Vamos começar com a primeira integral:
Para resolver essa integral, vamos usar o método de frações parciais. Esse método serve para decompor uma fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 3
Primeiro, vamos assumir que a fração pode ser escrita como a soma de frações mais simples:
Aqui,
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de
,
,
e
substituindo valores estratégicos de
.
Passo 5
Vamos escolher
:
Então,
.
Agora, vamos escolher
:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos expandir a equação original para encontrar
e
. Voltando à equação:
Expandindo e agrupando os termos, podemos comparar os coeficientes de potências iguais de
para resolver
e
. Após os cálculos, obtemos:
Passo 7
Agora que temos todos os valores, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 9
Somando todas as integrais, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 10
Agora, vamos para a segunda integral:
Podemos simplificar essa fração antes de integrar.
Passo 11
Dividindo
por
, temos:
Isso porque:
Passo 12
Agora, integramos cada termo separadamente:
Passo 13
Somando as integrais, temos:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A primeira integral é:
E a segunda integral é:
Exercícios relacionados
Use coordenadas cilíndricas e calcule
onde
é o sólido
e
Use coordenadas cilíndricas e calcule
onde
é o cilindro
e
.
Ache as derivadas parciais primeiras de
.
Ache as derivadas parciais primeiras de
.