Calcule as integrais abaixo: integral x-1(x-2)^2(x-3)^2 d x integral xx-6 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas duas integrais que você enviou! A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, mais especificamente técnicas de frações parciais e integração direta. Vamos precisar separar as frações de maneira adequada e lembrar de algumas regras básicas de integração para chegar nas respostas finais.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
integral x-1(x-2)^2(x-3)^2 , dx
Para resolver essa integral, vamos usar o método de frações parciais. Esse método serve para decompor uma fração complicada em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 3

Primeiro, vamos assumir que a fração pode ser escrita como a soma de frações mais simples:
x-1(x-2)^2 (x-3)^2 = Ax-2 + B(x-2)^2 + Cx-3 + D(x-3)^2
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por x - 1 = A(x-2)(x-3)^2 + B(x-3)^2 + C(x-3)(x-2)^2 + D(x-2)^2 para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de , , e substituindo valores estratégicos de .

Passo 5

Vamos escolher 2 - 1 = A(0)(-1)^2 + B(-1)^2 + C(-1)(0)^2 + D(0)^2 1 = B :
3 - 1 = A(1)(0)^2 + B(0)^2 + C(0)(1)^2 + D(1)^2 2 = D
Então, .
Agora, vamos escolher :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos expandir a equação original para encontrar x - 1 = A(x-2)(x-3)^2 + 1 cdot (x-3)^2 + C(x-3)(x-2)^2 + 2(x-2)^2 e A = 1 e C = 1 . Voltando à equação:
Expandindo e agrupando os termos, podemos comparar os coeficientes de potências iguais de para resolver e . Após os cálculos, obtemos:

Passo 7

Agora que temos todos os valores, a decomposição em frações parciais fica:
x-1(x-2)^2 (x-3)^2 = 1x-2 + 1(x-2)^2 + 1x-3 + 2(x-3)^2

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x-2 , dx = ln|x-2|
integral 1(x-2)^2 , dx = -1x-2
integral 1x-3 , dx = ln|x-3|
integral 2(x-3)^2 , dx = -2x-3

Passo 9

Somando todas as integrais, temos:
ln|x-2| - 1x-2 + ln|x-3| - 2x-3 + C
onde é a constante de integração.

Passo 10

Agora, vamos para a segunda integral:
integral xx-6 , dx
Podemos simplificar essa fração antes de integrar.

Passo 11

Dividindo xx-6 = 1 + 6x-6 por x = (x-6) + 6 Rightarrow xx-6 = (x-6) + 6x-6 = 1 + 6x-6 , temos:
Isso porque:

Passo 12

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1 , dx = x
integral 6x-6 , dx = 6 ln|x-6|

Passo 13

Somando as integrais, temos:
x + 6 ln|x-6| + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A primeira integral é:
ln|x-2| - 1x-2 + ln|x-3| - 2x-3 + C
E a segunda integral é:
x + 6 ln|x-6| + C

Exercícios relacionados