Ache as derivadas parciais primeiras de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função
e precisa achar as derivadas parciais dela em relação a cada variável:
,
e
. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, que são fundamentais no cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
e
como constantes.
A função
é um produto de duas partes:
e
. Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto para
:
A primeira parte
é simplesmente
, já que derivamos
em relação a
.
Passo 4
Agora, a segunda derivada
usa a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, onde
. Então:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Agora, vamos repetir o mesmo processo para a derivada parcial em relação a
,
.
Aplicando a regra do produto:
A primeira parte
é
.
Passo 7
A segunda derivada
também usa a regra da cadeia:
Passo 8
Substituindo de volta:
Fatorando
:
Passo 9
Por fim, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
,
.
Aplicando a regra do produto:
A primeira parte
é
.
Passo 10
A segunda derivada
usa a regra da cadeia:
Passo 11
Substituindo de volta:
Fatorando
:
Resposta
As derivadas parciais primeiras de
são:
Exercícios relacionados
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária
que liga os pontos
ao ponto
.
Calcule os seguintes limites
Calcule os seguintes limites
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
5.
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