Ache as derivadas parciais primeiras de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função e precisa achar as derivadas parciais dela em relação a cada variável: , e . Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, que são fundamentais no cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes.
A função é um produto de duas partes: e . Vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra do produto para :
A primeira parte é simplesmente , já que derivamos em relação a .

Passo 4

Agora, a segunda derivada usa a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde . Então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Podemos fatorar :

Passo 6

Agora, vamos repetir o mesmo processo para a derivada parcial em relação a , .
Aplicando a regra do produto:
A primeira parte é .

Passo 7

A segunda derivada também usa a regra da cadeia:

Passo 8

Substituindo de volta:
Fatorando :

Passo 9

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , .
Aplicando a regra do produto:
A primeira parte é .

Passo 10

A segunda derivada usa a regra da cadeia:

Passo 11

Substituindo de volta:
Fatorando :

Resposta

As derivadas parciais primeiras de são:

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