Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária que liga os pontos ao ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial específico ao mover uma partícula de um ponto até outro ponto ao longo de uma curva arbitrária . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o cálculo de trabalho por meio de integrais de linha e verificar se o campo é conservativo para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa trabalho realizado por um campo vetorial. O trabalho ( ) é calculado como a integral de linha do campo ao longo da curva :
Onde é um pequeno deslocamento ao longo da curva.

Passo 3

Antes de calcular a integral de linha diretamente, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que:
Se o campo for conservativo, o trabalho dependerá apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.

Passo 4

Para encontrar a função potencial , integramos cada componente de em relação à sua variável correspondente:
  • Integrando a primeira componente em relação a :
  • Derivando em relação a e igualando à segunda componente :
Isso implica que:
Integrando em relação a :
  • Finalmente, derivando em relação a e igualando à terceira componente :
Isso nos dá:
Portanto, a função potencial é:

Passo 5

Agora que encontramos a função potencial, podemos calcular o trabalho como a diferença do potencial nos pontos final e inicial:
Calculando em :
Calculando em :

Resposta

O trabalho realizado pelo campo vetorial é:

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