Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
F(x, y, z) = (e^y, x e^y + e^z, y e^z)
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária C que liga os pontos P1=(-1, 0, 0) ao ponto P2 = (1, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial específico ao mover uma partícula de um ponto até outro ponto ao longo de uma curva arbitrária C. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o cálculo de trabalho por meio de integrais de linha e verificar se o campo é conservativo para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa trabalho realizado por um campo vetorial. O trabalho ( W) é calculado como a integral de linha do campo F ao longo da curva C:
Onde é um pequeno deslocamento ao longo da curva.

Passo 3

Antes de calcular a integral de linha diretamente, vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial phi tal que:
Se o campo for conservativo, o trabalho dependerá apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.

Passo 4

Para encontrar a função potencial phi, integramos cada componente de F em relação à sua variável correspondente:
  • Integrando a primeira componente e^y em relação a x:
  • Derivando phi em relação a y e igualando à segunda componente :
Isso implica que:
Integrando em relação a y:
  • Finalmente, derivando phi em relação a z e igualando à terceira componente :
Isso nos dá:
Portanto, a função potencial é:

Passo 5

Agora que encontramos a função potencial, podemos calcular o trabalho como a diferença do potencial nos pontos final e inicial:
Calculando phi em :
Calculando phi em :

Resposta

O trabalho realizado pelo campo vetorial é:

Exercícios relacionados