Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula sobre uma curva arbitrária
que liga os pontos
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial específico ao mover uma partícula de um ponto
até outro ponto
ao longo de uma curva arbitrária
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o cálculo de trabalho por meio de integrais de linha e verificar se o campo é conservativo para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa trabalho realizado por um campo vetorial. O trabalho (
) é calculado como a integral de linha do campo
ao longo da curva
:
Onde
é um pequeno deslocamento ao longo da curva.
Passo 3
Antes de calcular a integral de linha diretamente, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que:
Se o campo for conservativo, o trabalho dependerá apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.
Passo 4
Para encontrar a função potencial
, integramos cada componente de
em relação à sua variável correspondente:
- Integrando a primeira componente
em relação a :
- Derivando
em relação a e igualando à segunda componente :
Isso implica que:
Integrando em relação a
:
- Finalmente, derivando
em relação a e igualando à terceira componente :
Isso nos dá:
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Agora que encontramos a função potencial, podemos calcular o trabalho como a diferença do potencial nos pontos final e inicial:
Calculando
em
:
Calculando
em
:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo vetorial é:
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Ache as derivadas parciais primeiras de
.
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