Calcule os seguintes limites
lim x -infty x^4+x^2x^2+43 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema faz parte do conteúdo de limites, especificamente analisando o comportamento de funções racionais quando tende ao infinito negativo. Para resolver, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observe os termos com os maiores expoentes no numerador e no denominador. No numerador, é o termo de maior grau, e no denominador, é o termo de maior grau.

Passo 3

Para simplificar a expressão, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador pelo termo de maior grau do denominador, que é x^4+x^2x^2+43 x+1 = x^4x^2 + x^2x^2x^2x^2 + 43xx^2 + 1x^2 . Isso ajuda a identificar o comportamento dominante da função quando tende a .

Passo 4

Agora, simplificamos cada termo:
x^4x^2 = x^2, x^2x^2 = 1, 43xx^2 = 43x, 1x^2 = 1x^2
Substituindo de volta na expressão:
x^2 + 11 + 43x + 1x^2

Passo 5

Agora, analisamos o limite quando x^2 + 11 + 0 + 0 = x^2 + 1 . Sabemos que lim x -infty x^4+x^2x^2+43 x+1 = +infty e tendem a 0, então a expressão se aproxima de:
À medida que tende a , cresce sem limite, portanto:

Resposta

O limite é .

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