Ache as derivadas parciais, usando a regra da cadeia:
w=u e^-v, u=tan ^-1(x y z) e v=ln (3 x y+5 y z) Lembre que dd x tan ^-1 x=11+x^2
Resposta:
l wx=1(3 x y+5 y z)(y z1+(x y z)^2-tan ^-1(x y z) 3 y(3 x y+5 y z)) wy=1(3 x y+5 y z)(x z1+(x y z)^2-tan ^-1(x y z)(3 x+5 z)(3 x y+5 y z)) wz=wy=1(3 x y+5 y z)(x y1+(x y z)^2-tan ^-1(x y z) 5 y(3 x y+5 y z))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de w = u e^-v, u = tan^-1(xyz), v = ln(3xy + 5yz) em relação a , e , usando a regra da cadeia. A gente tem que trabalhar com as funções:
Pra resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em funções com múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de wx = partial wpartial u cdot partial upartial x + partial wpartial v cdot partial vpartial x em relação a , ou seja, . A gente vai usar a regra da cadeia aqui. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas partes separadamente. Primeiro, a derivada de partial wpartial u = e^-v em relação a partial upartial x = 11 + (xyz)^2 cdot yz :
Depois, a derivada de em relação a . Lembrando que e que :

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte. A derivada de partial wpartial v = -u e^-v em relação a partial vpartial x = 13xy + 5yz cdot 3y :
E a derivada de em relação a . Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, juntando tudo isso na expressão original de wx = e^-v cdot yz1 + (xyz)^2 + (-u e^-v) cdot 3y3xy + 5yz :
wx = e^-v ( yz1 + (xyz)^2 - u cdot 3y3xy + 5yz )
Simplificando:

Passo 6

Como wx = 13xy + 5yz ( yz1 + (xyz)^2 - tan^-1(xyz) cdot 3y3xy + 5yz ) (porque ), podemos substituir:

Passo 7

Repetindo o mesmo processo para wy = 13xy + 5yz ( xz1 + (xyz)^2 - tan^-1(xyz) cdot (3x + 5z)3xy + 5yz ) e wz = 13xy + 5yz ( xy1 + (xyz)^2 - tan^-1(xyz) cdot 5y3xy + 5yz ) , temos:

Resposta

l wx=13xy + 5yz(yz1+(xyz)^2-tan^-1(xyz) cdot 3y3xy+5yz) wy=13xy + 5yz(xz1+(xyz)^2-tan^-1(xyz)(3x+5z)3xy+5yz) wz=13xy + 5yz(xy1+(xyz)^2-tan^-1(xyz) cdot 5y3xy+5yz)

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