Ache as derivadas parciais, usando a regra da cadeia:
z = sen(u v), u = 2 x e^y e v = y^2 * e^(-x)
Resposta: z_x = 2 y^2 e^(y-x) cos(2 x y^2 e^(y-x))(1-x) e zy = 2xy e^(y-x) cos(2xy^2 e^(y-x))(y+2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício de derivadas parciais usando a regra da cadeia. O enunciado nos dá as funções:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. Quando temos uma função que depende de e , que por sua vez dependem de e , a derivada parcial de em relação a é dada por:
E similarmente para :

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias.
Primeiro, calculemos e :
Agora, calculemos as derivadas de e em relação a e :
Para e :
Para e :

Passo 4

Agora vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia para encontrar e .
Para :
Substituindo e :
Para :
Substituindo e :

Resposta

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