Qual o menor valor que a expressão pode assumir, sendo um número real?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta qual é o menor valor que a expressão pode ter, onde é um número real. Vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e propriedades de funções quadráticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar. Observamos que pode ser escrito como . Então, vamos fazer uma substituição:
Com isso, nossa expressão fica:
Ou seja:

Passo 3

Agora, temos uma função quadrática na forma de . Sabemos que uma função quadrática do tipo tem seu valor mínimo no vértice da parábola. A fórmula para encontrar o valor de no vértice é:
Aqui, e . Vamos calcular:

Passo 4

Entretanto, lembrando que sempre é positivo, ou seja, . O valor que encontramos para no vértice é negativo ( ), o que não faz sentido nesse contexto. Isso significa que a função quadr��tica não atinge seu mínimo dentro do domínio permitido para .

Passo 5

Como não podemos usar o valor negativo de , precisamos considerar o limite da expressão quando se aproxima de zero, já que isso é o menor valor positivo que pode ter. Vamos calcular:

Resposta

O menor valor que a expressão pode assumir é 1.

Exercícios relacionados

Simplifique as expressões a seguir:
a)
Verifique se as equações são equações diferencias ordinárias e caso afirmativo, indique o grau e o tipo de equações.
Ache as derivadas parciais, usando a regra da cadeia:
e
Resposta: e
Calcule os números a seguir, sem uso de calculadora:
d)