Ache a diferencial total
.
Passo 1
Vamos resolver a parte a) do exercício:
Conteúdo da matéria: Vamos calcular a diferencial total
de uma função de duas variáveis
. Para isso, precisamos usar derivadas parciais.
O que vamos precisar: Conhecer como calcular derivadas parciais e como montar a expressão da diferencial total.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis. Aqui,
depende de
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia). - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivando a função:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 5
Agora, usamos as derivadas parciais para montar a diferencial total
:
Substituindo:
Passo 6
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício:
Conteúdo da matéria: Continuaremos calculando a diferencial total
para uma função de duas variáveis, utilizando derivadas parciais.
O que vamos precisar: Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 7
Identificamos as variáveis:
depende de
e
.
Passo 8
Calculando a derivada parcial de
em relação a
,
:
A função é:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é (pois é tratado como constante). - A derivada de
em relação a é (já que não depende de ).
Então:
Passo 9
Calculando a derivada parcial de
em relação a
,
:
Derivando a função:
- A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia). - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 10
Montamos a diferencial total
:
Substituindo:
Passo 11
Vamos para a parte c) do exercício:
Conteúdo da matéria: Calcularemos a diferencial total
para uma função de três variáveis, utilizando derivadas parciais.
O que vamos precisar: Calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 12
Identificamos as variáveis:
depende de
,
e
.
Passo 13
Calculando a derivada parcial de
em relação a
,
:
A função é:
Derivando em relação a
:
(Utilizamos a derivada da função logarítmica:
Passo 14
Calculando a derivada parcial de
em relação a
,
:
De forma similar:
Passo 15
Calculando a derivada parcial de
em relação a
,
:
Novamente:
Passo 16
Agora, montamos a diferencial total
:
Substituindo:
Passo 17
Por fim, vamos resolver a parte d) do exercício:
Conteúdo da matéria: Continuaremos com a diferencial total
, agora para uma função de três variáveis.
O que vamos precisar: Calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 18
Identificamos as variáveis:
depende de
,
e
.
Passo 19
Calculando a derivada parcial de
em relação a
,
:
A função é:
Derivando em relação a
:
- A derivada de
em relação a é (já que não depende de ). - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 20
Calculando a derivada parcial de
em relação a
,
:
Derivando a função:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (pois não depende de ).
Então:
Passo 21
Calculando a derivada parcial de
em relação a
,
:
Derivando a função:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 22
Agora, montamos a diferencial total
:
Substituindo:
Resposta
A diferencial total
é:
Exercícios relacionados
Descreva o gráfico de
.
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Encontre uma equação vetorial para a curva de interseção das superfícies
em termos do parâmetro
.
Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar
e
.
d)
d)