Ache a diferencial total d w.
cc a) w=y tg x^2-2 x y & b) w=x e^2 y+e^-y c) w=ln (x^2+y^2+z^2) & d) w=e^y z-cos x z

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício:
w = y tan(x^2) - 2xy
Conteúdo da matéria: Vamos calcular a diferencial total de uma função de duas variáveis . Para isso, precisamos usar derivadas parciais.
O que vamos precisar: Conhecer como calcular derivadas parciais e como montar a expressão da diferencial total.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis. Aqui, depende de e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de w = y tan(x^2) - 2xy em relação a partial wpartial x = 2xy sec^2(x^2) - 2y, ou seja, .
A função é:
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de w = y tan(x^2) - 2xy em relação a partial wpartial y = tan(x^2) - 2x, ou seja, .
Derivando a função:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 5

Agora, usamos as derivadas parciais para montar a diferencial total dw = partial wpartial x dx + partial wpartial y dy:
dw = (2xy sec^2(x^2) - 2y) dx + (tan(x^2) - 2x) dy
Substituindo:

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício:
w = x e^2y + e^-y
Conteúdo da matéria: Continuaremos calculando a diferencial total para uma função de duas variáveis, utilizando derivadas parciais.
O que vamos precisar: Calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 7

Identificamos as variáveis: depende de e .

Passo 8

Calculando a derivada parcial de w = x e^2y + e^-y em relação a partial wpartial x = e^2y, :
A função é:
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é (pois é tratado como constante).
  • A derivada de em relação a é (já que não depende de ).
Então:

Passo 9

Calculando a derivada parcial de w = x e^2y + e^-y em relação a partial wpartial y = 2x e^2y - e^-y, :
Derivando a função:
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 10

Montamos a diferencial total dw = partial wpartial x dx + partial wpartial y dy:
dw = e^2y dx + (2x e^2y - e^-y) dy
Substituindo:

Passo 11

Vamos para a parte c) do exercício:
w = ln(x^2 + y^2 + z^2)
Conteúdo da matéria: Calcularemos a diferencial total para uma função de três variáveis, utilizando derivadas parciais.
O que vamos precisar: Calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 12

Identificamos as variáveis: depende de , e .

Passo 13

Calculando a derivada parcial de w = ln(x^2 + y^2 + z^2) em relação a partial wpartial x = 2xx^2 + y^2 + z^2, :
A função é:
Derivando em relação a :

(Utilizamos a derivada da função logarítmica: )

Passo 14

Calculando a derivada parcial de partial wpartial y = 2yx^2 + y^2 + z^2 em relação a , :
De forma similar:

Passo 15

Calculando a derivada parcial de partial wpartial z = 2zx^2 + y^2 + z^2 em relação a , :
Novamente:

Passo 16

Agora, montamos a diferencial total dw = partial wpartial x dx + partial wpartial y dy + partial wpartial z dz:
dw = 2xx^2 + y^2 + z^2 dx + 2yx^2 + y^2 + z^2 dy + 2zx^2 + y^2 + z^2 dz
Substituindo:

Passo 17

Por fim, vamos resolver a parte d) do exercício:
w = e^y z - cos(x) z
Conteúdo da matéria: Continuaremos com a diferencial total , agora para uma função de três variáveis.
O que vamos precisar: Calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 18

Identificamos as variáveis: depende de , e .

Passo 19

Calculando a derivada parcial de w = e^y z - cos(x) z em relação a partial wpartial x = sin(x) z, :
A função é:
Derivando em relação a :
  • A derivada de em relação a é (já que não depende de ).
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 20

Calculando a derivada parcial de w = e^y z - cos(x) z em relação a partial wpartial y = z e^y z, :
Derivando a função:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (pois não depende de ).
Então:

Passo 21

Calculando a derivada parcial de w = e^y z - cos(x) z em relação a partial wpartial z = y e^y z - cos(x), :
Derivando a função:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 22

Agora, montamos a diferencial total dw = partial wpartial x dx + partial wpartial y dy + partial wpartial z dz:
dw = sin(x) z , dx + z e^y z , dy + (y e^y z - cos(x)) dz
Substituindo:

Resposta

A diferencial total dw = sin(x) z , dx + z e^y z , dy + (y e^y z - cos(x)) dz é:

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Descreva o gráfico de r(t) = sen^2(t) i + cos^2(t) j.
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© integral x^2 e^x d x
(d) integral x ln x d x
(e) integral x^2 ln x d x
Encontre uma equação vetorial para a curva de interseção das superfícies y = x^2 e z = y em termos do parâmetro x = t.
Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y.
d) z e^y z+2 x e^x z-4 e^x y=3