Descreva o gráfico de r(t) = sen^2(t) i + cos^2(t) j.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa descrever o gráfico da função vetorial . Vamos usar conhecimentos de trigonometria e geometria analítica para entender como esse gráfico se parece. Para resolver isso, vamos precisar relacionar as componentes e dessa função e ver que tipo de curva elas formam juntas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes e da função . Temos:
Agora, queremos relacionar e sem o parâmetro para descobrir qual é a equação que conecta essas duas variáveis.

Passo 3

Sabemos que uma identidade trigonométrica muito útil é:
Vamos substituir e nessa identidade:
Isso nos dá uma relação direta entre e sem depender de .

Passo 4

A equação representa uma reta no plano cartesiano. Isso significa que, independentemente do valor de , os pontos estarão sempre sobre essa reta.

Passo 5

Para visualizar melhor, podemos notar que quando :
Então, o ponto é .
Quando :
Então, o ponto é .
E para outros valores de , os pontos variarão entre esses dois extremos na reta .

Resposta

O gráfico de é uma reta que vai do ponto ao ponto no plano cartesiano, seguindo a equação .

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