Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a) integral x e^x d x
(b) integral x sen x d x
© integral x^2 e^x d x
(d) integral x ln x d x
(e) integral x^2 ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essas integrais indefinidas que envolvem funções como , e . Para resolver essas integrais, a gente vai precisar usar um método chamado integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui. Não se preocupa se você não está muito familiarizado com o assunto, vou explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Vamos começar resolvendo a parte (a): integral u , dv = uv - integral v , du .
A integração por partes segue a fórmula:
u = x Rightarrow du = dx
Então, precisamos escolher o que será dv = e^x dx Rightarrow v = e^x e o que será integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C . Geralmente, escolhemos = e^x (x - 1) + C como a função que fica mais simples quando derivada.
Aqui, vamos deixar:
Agora aplicamos a fórmula:

Passo 3

Agora vamos para a parte (b): u = x Rightarrow du = dx .
Mais uma vez, usamos integração por partes. Escolhemos:
dv = sin x , dx Rightarrow v = -cos x
integral x sin x , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sin x + C
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Seguimos para a parte ©: u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx .
Aqui, a gente precisa aplicar integração por partes duas vezes porque o dv = e^x dx Rightarrow v = e^x ainda sobra após a primeira integração.
Primeira aplicação:
integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - integral 2x e^x dx
u = 2x Rightarrow du = 2 dx
Então:
dv = e^x dx Rightarrow v = e^x
Agora, precisamos resolver integral 2x e^x dx = 2x e^x - integral 2 e^x dx = 2x e^x - 2 e^x + C usando integração por partes novamente.
Segunda aplicação:
integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) + C = e^x (x^2 - 2x + 2) + C
Assim:
Voltando à expressão anterior:

Passo 5

Vamos para a parte (d): u = ln x Rightarrow du = 1x dx .
Mais uma vez, integração por partes é a chave. Escolhemos:
dv = x , dx Rightarrow v = x^22
integral x ln x , dx = x^22 ln x - integral x^22 cdot 1x dx = x^22 ln x - 12 integral x , dx
Aplicando a fórmula:
= x^22 ln x - 12 cdot x^22 + C = x^22 ln x - x^24 + C

Passo 6

Por fim, a parte (e): u = ln x Rightarrow du = 1x dx .
Mais uma vez, vamos usar integração por partes, e provavelmente precisaremos fazer isso duas vezes.
Primeira aplicação:
dv = x^2 dx Rightarrow v = x^33
integral x^2 ln x , dx = x^33 ln x - integral x^33 cdot 1x dx = x^33 ln x - 13 integral x^2 dx
Aplicando a fórmula:
= x^33 ln x - 13 cdot x^33 + C = x^33 ln x - x^39 + C

Resposta

As integrais resolvidas são:
a)
b)
c)
d)
e)

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