Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essas integrais indefinidas que envolvem funções como
,
e
. Para resolver essas integrais, a gente vai precisar usar um método chamado integração por partes. Esse método é super útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui. Não se preocupa se você não está muito familiarizado com o assunto, vou explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Vamos começar resolvendo a parte (a):
.
A integração por partes segue a fórmula:
Então, precisamos escolher o que será
e o que será
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples quando derivada.
Aqui, vamos deixar:
Agora aplicamos a fórmula:
Passo 3
Agora vamos para a parte (b):
.
Mais uma vez, usamos integração por partes. Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Seguimos para a parte ©:
.
Aqui, a gente precisa aplicar integração por partes duas vezes porque o
ainda sobra após a primeira integração.
Primeira aplicação:
Então:
Agora, precisamos resolver
usando integração por partes novamente.
Segunda aplicação:
Assim:
Voltando à expressão anterior:
Passo 5
Vamos para a parte (d):
.
Mais uma vez, integração por partes é a chave. Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Por fim, a parte (e):
.
Mais uma vez, vamos usar integração por partes, e provavelmente precisaremos fazer isso duas vezes.
Primeira aplicação:
Aplicando a fórmula:
Resposta
As integrais resolvidas são:
a)
b)
c)
d)
e)