Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar
e
.
d)
d)
Passo 1
Então, temos uma equação que relaciona z com x e y:
Nosso objetivo aqui é descobrir como z muda quando x ou y mudam, ou seja, encontrar as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, que é útil quando z está “escondida” dentro da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar toda a equação em relação a x para encontrar
. Lembre-se que quando diferenciamos com respeito a x, y é tratado como constante.
Diferenciando cada termo:
-
Primeiro termo:Aqui, usamos a regra do produto porque temos duas funções multiplicando: z e
. A derivada será: Simplificando: -
Segundo termo:Novamente, usamos a regra do produto:Simplificando:
-
Terceiro termo:Derivando em relação a x:Simplificando:
-
Lado direito: 3A derivada de uma constante é zero:
Passo 3
Agora, juntamos todas as derivadas:
Vamos fatorar
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar a mesma equação em relação a y para encontrar
.
Diferenciando cada termo:
-
Primeiro termo:Usando a regra do produto:Simplificando:
-
Segundo termo:Diferenciando em relação a y:Simplificando:
-
Terceiro termo:Diferenciando em relação a y:Simplificando:
-
Lado direito: 3A derivada de uma constante é zero:
Passo 5
Juntando todas as derivadas:
Fatorando
:
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Encontre uma equação vetorial para a curva de interseção das superfícies
em termos do parâmetro
.
Ache a diferencial total
.
Calcule
, utilizando a igualdade
Ache as derivadas parciais indicadas.
a)
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