Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y.
d) z e^y z+2 x e^x z-4 e^x y=3

Passo 1

Então, temos uma equação que relaciona z com x e y:
z e^y z + 2x e^x z - 4 e^x y = 3
Nosso objetivo aqui é descobrir como z muda quando x ou y mudam, ou seja, encontrar as derivadas parciais e . Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita, que é útil quando z está “escondida” dentro da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar toda a equação em relação a x para encontrar partial zpartial x cdot e^y z + z cdot e^y z cdot y cdot partial zpartial x . Lembre-se que quando diferenciamos com respeito a x, y é tratado como constante.
Diferenciando cada termo:
  1. Primeiro termo: e^y z ( partial zpartial x + y z partial zpartial x )
    Aqui, usamos a regra do produto porque temos duas funções multiplicando: z e 2 e^x z + 2x e^x z cdot z + 2x e^x z cdot x cdot partial zpartial x . A derivada será:
    2 e^x z (1 + x z) + 2x^2 e^x z partial zpartial x
    Simplificando:
    -4 e^x y cdot y
  2. Segundo termo: -4 y e^x y
    Novamente, usamos a regra do produto:
    0
    Simplificando:
  3. Terceiro termo:
    Derivando em relação a x:
    Simplificando:
  4. Lado direito: 3
    A derivada de uma constante é zero:

Passo 3

Agora, juntamos todas as derivadas:
e^y z ( partial zpartial x + y z partial zpartial x ) + 2 e^x z (1 + x z) + 2x^2 e^x z partial zpartial x - 4 y e^x y = 0
Vamos fatorar ( e^y z (1 + y z) + 2x^2 e^x z ) partial zpartial x = -2 e^x z (1 + x z) + 4 y e^x y :
partial zpartial x = -2 e^x z (1 + x z) + 4 y e^x y e^y z (1 + y z) + 2x^2 e^x z
Finalmente, isolamos :

Passo 4

Agora, vamos diferenciar a mesma equação em relação a y para encontrar partial zpartial y cdot e^y z + z cdot e^y z cdot z + z cdot e^y z cdot y cdot partial zpartial y .
Diferenciando cada termo:
  1. Primeiro termo: e^y z ( partial zpartial y + z^2 + y z partial zpartial y )
    Usando a regra do produto:
    2x e^x z cdot x cdot partial zpartial y
    Simplificando:
    2x^2 e^x z partial zpartial y
  2. Segundo termo: -4 e^x y cdot x
    Diferenciando em relação a y:
    -4 x e^x y
    Simplificando:
    0
  3. Terceiro termo:
    Diferenciando em relação a y:
    Simplificando:
  4. Lado direito: 3
    A derivada de uma constante é zero:

Passo 5

Juntando todas as derivadas:
e^y z ( partial zpartial y + z^2 + y z partial zpartial y ) + 2x^2 e^x z partial zpartial y - 4 x e^x y = 0
Fatorando ( e^y z (1 + y z) + 2x^2 e^x z ) partial zpartial y = - e^y z z^2 + 4 x e^x y :
partial zpartial y = - e^y z z^2 + 4 x e^x y e^y z (1 + y z) + 2x^2 e^x z
Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -2 e^x z (1 + x z) + 4 y e^x y e^y z (1 + y z) + 2x^2 e^x z
e
partial zpartial y = - e^y z z^2 + 4 x e^x y e^y z (1 + y z) + 2x^2 e^x z

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