Ache a dimensão e uma base para os espaços soluções dos sistemas lineares homogêneos.
b) c4 x+3 y-z+t=0 x-y+2 z-t=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema linear homogêneo, ou seja, todas as equações são igualadas a zero. O objetivo é encontrar a dimensão e uma base para o conjunto de soluções desse sistema. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de álgebra linear, como matrizes, operações com linhas e espaço vetorial.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. O sistema dado é:
4x + 3y - z + t = 0 x - y + 2z - t = 0
Podemos representar isso com a matriz aumentada:
4 & 3 & -1 & 1 & | & 0 1 & -1 & 2 & -1 & | & 0

Passo 3

Nosso próximo passo é simplificar essa matriz usando operações elementares para chegar a uma forma mais fácil de resolver, geralmente a forma escalonada. Primeiro, vamos trocar a primeira e a segunda linha para facilitar os cálculos:
1 & -1 & 2 & -1 & | & 0 4 & 3 & -1 & 1 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do primeiro 1 (na primeira coluna). Para isso, subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 4 times Linha 1
1 & -1 & 2 & -1 & | & 0 0 & 7 & -9 & 5 & | & 0

Passo 5

Agora, temos um sistema mais simples:
x - y + 2z - t = 0 7y - 9z + 5t = 0
Perceba que temos 4 variáveis ( , , , ) e 2 equações. Isso significa que teremos variáveis livres. Vamos escolher e como variáveis livres.

Passo 6

Vamos expressar 7y = 9z - 5t Rightarrow y = 9z - 5t7 e x - ( 9z - 5t7 ) + 2z - t = 0 em função de x = 9z - 5t7 - 2z + t = -5z + 2t7 e :
Primeiro, da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Resolvendo para :

Passo 7

Então, podemos escrever as soluções do sistema em termos de x = -5z + 2t7 y = 9z - 5t7 z = z t = t e :
Isso significa que as soluções são combinações lineares de e .

Passo 8

Para encontrar a base do espaço solução, identificamos os vetores que multiplicam as variáveis livres v1 = ( -57, 97, 1, 0 ) e v2 = ( 27, -57, 0, 1 ) e :

Resposta

O espaço solução tem dimensão 2 e uma base é formada pelos vetores:
( -57, 97, 1, 0 ), ( 27, -57, 0, 1 )

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