Ache a dimensão e uma base para os espaços soluções dos sistemas lineares homogêneos.
b) .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema linear homogêneo, ou seja, todas as equações são igualadas a zero. O objetivo é encontrar a dimensão e uma base para o conjunto de soluções desse sistema. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de álgebra linear, como matrizes, operações com linhas e espaço vetorial.
Passo 2
Vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. O sistema dado é:
Podemos representar isso com a matriz aumentada:
Passo 3
Nosso próximo passo é simplificar essa matriz usando operações elementares para chegar a uma forma mais fácil de resolver, geralmente a forma escalonada. Primeiro, vamos trocar a primeira e a segunda linha para facilitar os cálculos:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do primeiro 1 (na primeira coluna). Para isso, subtraímos 4 vezes a primeira linha da segunda linha:
Passo 5
Agora, temos um sistema mais simples:
Perceba que temos 4 variáveis (, , , ) e 2 equações. Isso significa que teremos variáveis livres. Vamos escolher e como variáveis livres.
Passo 6
Vamos expressar e em função de e :
Primeiro, da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Resolvendo para :
Passo 7
Então, podemos escrever as soluções do sistema em termos de e :
Isso significa que as soluções são combinações lineares de e .
Passo 8
Para encontrar a base do espaço solução, identificamos os vetores que multiplicam as variáveis livres v1 = ( -57, 97, 1, 0 ) e v2 = ( 27, -57, 0, 1 ) e :
Resposta
O espaço solução tem dimensão 2 e uma base é formada pelos vetores: