No espaço vetorial usual (R^3,+, cdot), escreva o vetor (-1,0,1) como combinação linear dos vetores u=(1,1,0), v=(1,-1,1) e w=(1,0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de combinação linear no espaço vetorial . O enunciado pede para escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores , e . Para isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e como resolver sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dizemos que um vetor pode ser escrito como combinação linear de outros vetores se ele pode ser expresso como uma soma desses vetores multiplicados por certos coeficientes. Ou seja, queremos encontrar números a cdot u + b cdot v + c cdot w = (-1, 0, 1) , e tais que:

Passo 3

Vamos substituir os vetores a cdot (1, 1, 0) + b cdot (1, -1, 1) + c cdot (1, 0, -1) = (-1, 0, 1) , a + b + c = -1 a - b + 0c = 0 0a + b - c = 1 e na equação:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação , podemos concluir que .

Passo 5

Substituindo b + b + c = -1 2b + c = -1 na primeira equação:

Passo 6

Da terceira equação , podemos isolar .

Passo 7

Substituindo 2b + (b - 1) = -1 3b - 1 = -1 3b = 0 b = 0 na equação :

Passo 8

Como , então .
E .

Resposta

O vetor 0 cdot u + 0 cdot v -1 cdot w = (-1, 0, 1) pode ser escrito como combinação linear:

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