No espaço vetorial usual (R^3,+, cdot), escreva o vetor (1,1,1) como combinação linear dos vetores u=(1,1,0), v=(1,-1,1) e w=(1,0,-1).

Passo 1

Vamos resolver um problema de combinação linear no espaço vetorial . A ideia é expressar o vetor usando uma combinação dos vetores , e . Para isso, precisamos encontrar coeficientes que, quando multiplicados por esses vetores e somados, deem exatamente o vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos representar a combinação linear:
(1,1,1) = a cdot (1,1,0) + b cdot (1,-1,1) + c cdot (1,0,-1)
Aqui, , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos expandir essa equação nas suas componentes:
1 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 1 1 = a cdot 1 + b cdot (-1) + c cdot 0 1 = a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot (-1)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + b + c = 1 a - b = 1 b - c = 1

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
a - b = 1 implies a = 1 + b
Da terceira equação:
b - c = 1 implies c = b - 1

Passo 5

Substituímos (1 + b) + b + (b - 1) = 1 e 3b = 1 implies b = 13 na primeira equação:
Simplificando:

Passo 6

Agora, encontramos a = 1 + 13 = 43 e c = 13 - 1 = -23 usando os valores de :

Resposta

Portanto, o vetor (1,1,1) = 43 cdot u + 13 cdot v - 23 cdot w pode ser escrito como combinação linear dos vetores , e da seguinte forma:

Exercícios relacionados