No espaço vetorial usual , escreva o vetor como combinação linear dos vetores e .
Passo 1
Vamos resolver um problema de combinação linear no espaço vetorial . A ideia é expressar o vetor usando uma combinação dos vetores , e . Para isso, precisamos encontrar coeficientes que, quando multiplicados por esses vetores e somados, deem exatamente o vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos representar a combinação linear:
Aqui, , e são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos expandir essa equação nas suas componentes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + b + c = 1 a - b = 1 b - c = 1
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
a - b = 1 implies a = 1 + b
Da terceira equação:
b - c = 1 implies c = b - 1
Passo 5
Substituímos (1 + b) + b + (b - 1) = 1 e 3b = 1 implies b = 13 na primeira equação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, encontramos a = 1 + 13 = 43 e c = 13 - 1 = -23 usando os valores de :
Resposta
Portanto, o vetor (1,1,1) = 43 cdot u + 13 cdot v - 23 cdot w pode ser escrito como combinação linear dos vetores , e da seguinte forma: