Considere as bases de R^3: C=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,3) e B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). Calcule as matrizes MB^C e MC^B.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de mudança de base em álgebra linear. Temos duas bases para o espaço tridimensional R^3: a base C = (1,1,0), (0,1,0), (0,0,3) e a base padrão B = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Nosso objetivo é encontrar as matrizes de transição MB^C e MC^B. Para isso, vamos precisar entender como representar vetores de uma base em termos da outra e utilizar conceitos de álgebra linear como matrizes e mudanças de base.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de transição. A matriz MB^C transforma as coordenadas de um vetor da base C para a base B. Basicamente, ela nos diz como converter as coordenadas de um vetor quando mudamos de uma base para outra.

Passo 3

Como a base B é a base padrão, os vetores de C já estão expressos em termos de B. Ou seja, os vetores da base C são expressos diretamente como combinações lineares dos vetores da base padrão. Portanto, a matriz de transição MB^C será formada colocando os vetores de C como colunas.

Passo 4

Vamos construir a matriz MB^C colocando os vetores de C como colunas:
MB^C = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3
Cada coluna desta matriz corresponde a um vetor da base C expresso na base B.

Passo 5

Agora, para encontrar a matriz de transição MC^B, que faz a conversão inversa (de B para C), precisamos calcular a inversa de MB^C. Isso porque as matrizes de transição são inversas uma da outra.
Vamos calcular a inversa de MB^C:
MC^B = ( MB^C )^-1
Primeiro, vamos escrever a matriz MB^C:
MB^C = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3
Agora, calculamos a inversa:
MC^B = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 13

Passo 6

Com as duas matrizes de transição calculadas, podemos resumir nossos resultados. A matriz MB^C nos permite converter coordenadas de C para B, e a matriz MC^B faz o caminho inverso, de B para C.

Resposta

As matrizes de transição são:
MB^C = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3
MC^B = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 13

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