Vamos resolver um exercício de mudança de base em álgebra linear. Temos duas bases para o espaço tridimensional : a base e a base padrão . Nosso objetivo é encontrar as matrizes de transição e . Para isso, vamos precisar entender como representar vetores de uma base em termos da outra e utilizar conceitos de álgebra linear como matrizes e mudanças de base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz de transição. A matriz transforma as coordenadas de um vetor da base para a base . Basicamente, ela nos diz como converter as coordenadas de um vetor quando mudamos de uma base para outra.
Passo 3
Como a base é a base padrão, os vetores de já estão expressos em termos de . Ou seja, os vetores da base são expressos diretamente como combinações lineares dos vetores da base padrão. Portanto, a matriz de transição será formada colocando os vetores de como colunas.
Passo 4
Vamos construir a matriz colocando os vetores de como colunas:
Cada coluna desta matriz corresponde a um vetor da base C expresso na base B.
Passo 5
Agora, para encontrar a matriz de transição MC^B, que faz a conversão inversa (de B para C), precisamos calcular a inversa de MB^C. Isso porque as matrizes de transição são inversas uma da outra.
Vamos calcular a inversa de MB^C:
MC^B = ( MB^C )^-1
Primeiro, vamos escrever a matriz MB^C:
MB^C = 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3
Agora, calculamos a inversa:
MC^B = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 13
Passo 6
Com as duas matrizes de transição calculadas, podemos resumir nossos resultados. A matriz MB^C nos permite converter coordenadas de C para B, e a matriz MC^B faz o caminho inverso, de B para C.