No espaço vetorial usual (P2,+, cdot), escreva o vetor 2-t+3 t^2 como combinação linear dos vetores u=1+t, v=1-t+t^2 e w=1-t^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever o polinômio como uma combinação linear dos vetores , e . Aqui, estamos trabalhando no espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar e resolver um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear dos vetores a cdot u + b cdot v + c cdot w = 2 - t + 3t^2 , a(1 + t) + b(1 - t + t^2) + c(1 - t^2) = 2 - t + 3t^2 e que resulta em . Isso significa que:
Substituindo os valores de , e :

Passo 3

Agora, vamos distribuir os coeficientes a + a t + b + (-b t) + b t^2 + c - c t^2 = 2 - t + 3t^2 , (a + b + c) + (a - b) t + (b - c) t^2 = 2 - t + 3t^2 e :
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a + b + c = 2 a - b = -1 b - c = 3

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
a - b = -1 implies a = b - 1
Agora, substituímos (b - 1) + b + c = 2 implies 2b + c - 1 = 2 implies 2b + c = 3 na primeira equação:
b - c = 3 implies c = b - 3
Da terceira equação:
2b + (b - 3) = 3 implies 3b - 3 = 3 implies 3b = 6 implies b = 2
Substituindo na equação :

Passo 6

Agora que temos a = b - 1 = 2 - 1 = 1 , vamos encontrar c = b - 3 = 2 - 3 = -1 e :

Passo 7

Então, os coeficientes são 2 - t + 3t^2 = 1 cdot (1 + t) + 2 cdot (1 - t + t^2) - 1 cdot (1 - t^2) , e . Portanto, a combinação linear é:

Resposta

A combinação linear é:
2 - t + 3t^2 = 1(1 + t) + 2(1 - t + t^2) - 1(1 - t^2)

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