No espaço vetorial usual , escreva o vetor como combinação linear dos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever o polinômio como uma combinação linear dos vetores , e . Aqui, estamos trabalhando no espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar e resolver um sistema de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que existe uma combinação linear dos vetores , e que resulta em . Isso significa que:
Substituindo os valores de , e :
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes , e :
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
a - b = -1 implies a = b - 1
Agora, substituímos (b - 1) + b + c = 2 implies 2b + c - 1 = 2 implies 2b + c = 3 na primeira equação: