Ache a dimensão e uma base para os espaços soluções dos sistemas lineares homogêneos.
a) cx+y+z+w-t=0 x-y-z+2 w-t=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um sistema linear homogêneo com duas equações e cinco incógnitas: . Nosso objetivo é encontrar a dimensão e uma base para o espaço das soluções desse sistema. Para isso, vamos usar álgebra linear, mais especificamente o método de eliminação de Gauss para simplificar o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial:
x + y + z + w - t = 0 x - y - z + 2w - t = 0
Podemos representar isso como uma matriz aumentada:
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & | & 0 1 & -1 & -1 & 2 & -1 & | & 0
Agora, vamos eliminar a variável 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & | & 0 0 & -2 & -2 & 1 & 0 & | & 0 da segunda equação subtraindo a primeira da segunda:

Passo 3

Simplificamos a segunda linha dividindo por 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & | & 0 0 & 1 & 1 & -12 & 0 & | & 0 :
Agora, expressamos as variáveis livres. Temos cinco incógnitas e duas equações, então teremos variáveis livres. Vamos escolher como livres.

Passo 4

A partir da segunda equação simplificada:
y + z - 12w = 0 implies y = -z + 12w
Da primeira equação:
x + y + z + w - t = 0 implies x = -y - z - w + t
Substituindo x = -(-z + 12w) - z - w + t = z - 12w - z - w + t = -32w + t na expressão de :

Passo 5

Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de x = -32w + t y = -z + 12w z = z w = w t = t :
x y z w t = z 0 -1 1 0 0 + w -32 12 0 1 0 + t 1 0 0 0 1
Podemos escrever o vetor solução como combinação linear das variáveis livres:

Resposta

A dimensão do espaço solução é 0 -1 1 0 0 , -32 12 0 1 0 , 1 0 0 0 1 e uma base para esse espaço é formada pelos vetores:

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