Ache a dimensão e uma base para os espaços soluções dos sistemas lineares homogêneos.
a) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver um sistema linear homogêneo com duas equações e cinco incógnitas: . Nosso objetivo é encontrar a dimensão e uma base para o espaço das soluções desse sistema. Para isso, vamos usar álgebra linear, mais especificamente o método de eliminação de Gauss para simplificar o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial:
Podemos representar isso como uma matriz aumentada:
Agora, vamos eliminar a variável da segunda equação subtraindo a primeira da segunda:
Passo 3
Simplificamos a segunda linha dividindo por :
Agora, expressamos as variáveis livres. Temos cinco incógnitas e duas equações, então teremos variáveis livres. Vamos escolher como livres.
Passo 4
A partir da segunda equação simplificada:
Da primeira equação:
Substituindo na expressão de :
Passo 5
Agora, podemos expressar todas as variáveis em termos de :
Podemos escrever o vetor solução como combinação linear das variáveis livres:
Resposta
A dimensão do espaço solução é 0 -1 1 0 0 , -32 12 0 1 0 , 1 0 0 0 1 e uma base para esse espaço é formada pelos vetores: