Encontre o operador linear T: R^2 R^2, tal que T(x, y) tenha autovalores -1 e 3 associados respectivamente aos autovetores (3,1) e (-2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar um operador linear que tenha dois autovalores, e , associados aos autovetores e , respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz T = P D P^-1 tem autovalores e com autovetores e , podemos construir usando a relação:
onde é a matriz cujas colunas são os autovetores e é uma matriz diagonal com os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a matriz P = 3 & -2 1 & 1 com os autovetores dados:
D = -1 & 0 0 & 3
E a matriz diagonal com os autovalores:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a inversa da matriz P^-1 = 1det(P) d & -b -c & a , ou seja, det(P) = 3 times 1 - (-2) times 1 = 3 + 2 = 5 . Para uma matriz P^-1 = 15 1 & 2 -1 & 3 :
onde .
Calculando o determinante de :
Então,

Passo 5

Agora, vamos multiplicar T = P D P^-1 = 3 & -2 1 & 1 -1 & 0 0 & 3 15 & 25 -15 & 35 , P D = 3 times (-1) & -2 times 3 1 times (-1) & 1 times 3 = -3 & -6 -1 & 3 e T = -3 & -6 -1 & 3 15 & 25 -15 & 35 = -35 + 65 & -65 + -185 -15 + -35 & -25 + 95 para encontrar T = 35 & -245 -45 & 75 :
Primeiro, multiplicamos e :
Agora, multiplicamos o resultado por :
Simplificando:

Resposta

O operador linear T = dfrac35 & -dfrac245 -dfrac45 & dfrac75 é:

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