Encontre o operador linear
, tal que
tenha autovalores -1 e 3 associados respectivamente aos autovetores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar um operador linear
que tenha dois autovalores,
e
, associados aos autovetores
e
, respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes de autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz
tem autovalores
e
com autovetores
e
, podemos construir
usando a relação:
onde
é a matriz cujas colunas são os autovetores e
é uma matriz diagonal com os autovalores.
Passo 3
Vamos montar a matriz
com os autovetores dados:
E a matriz diagonal
com os autovalores:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a inversa da matriz
, ou seja,
. Para uma matriz
:
onde
.
Calculando o determinante de
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos multiplicar
,
e
para encontrar
:
Primeiro, multiplicamos
e
:
Agora, multiplicamos o resultado por
:
Simplificando:
Resposta
O operador linear
é: