Verifique que lambda=-omega^2 é autovalor e v=cos (omega t) seu autovetor associado do operador T: C(R) C(R) se T(f(t))=f^prime prime(t).

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar que lambda = -omega^2 é um autovalor e que v = cos(omega t) é o autovetor associado do operador T definido por T(f(t)) = f''(t), onde T: C(R) C(R).
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com operadores lineares em espaços de funções contínuas e conceitos de autovalores e autovetores (ou mais precisamente, autovalores e autofunções).
O que precisamos: Precisamos aplicar o operador T à função v = cos(omega t) e verificar se o resultado é igual a lambda v, onde lambda = -omega^2. Isso confirmará que lambda é um autovalor e v é a correspondente autofunção.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o operador T à função v(t) = cos(omega t). Pelo enunciado, T(f(t)) = f''(t), ou seja, T calcula a segunda derivada de f(t).
Vamos calcular a segunda derivada de v(t):
v(t) = cos(omega t)
A primeira derivada de v(t) em relação a t é:
v'(t) = -omega sin(omega t)
A segunda derivada de v(t) é:
v''(t) = -omega^2 cos(omega t)
Portanto:
T(v(t)) = v''(t) = -omega^2 cos(omega t)

Passo 3

Agora, comparamos o resultado de T(v(t)) com lambda v(t), onde lambda = -omega^2:
lambda v(t) = -omega^2 cos(omega t)
Observamos que:
T(v(t)) = -omega^2 cos(omega t) = lambda v(t)
Isso mostra que aplicar o operador T à função v(t) resulta em lambda v(t).

Passo 4

Conforme a definição de autovalor e autovetor (ou autofunção), se T(v) = lambda v, então lambda é um autovalor do operador T e v é a correspondente autofunção.
No nosso caso, vimos que:
T(v(t)) = lambda v(t) com lambda = -omega^2

Resposta

Portanto, verificamos que lambda = -omega^2 é um autovalor e v = cos(omega t) é a autofunção associada do operador T(f(t)) = f''(t).

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