Verifique que
é autovalor e
seu autovetor associado do operador
se
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar que
é um autovalor e que
é o autovetor associado do operador
definido por
, onde
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com operadores lineares em espaços de funções contínuas e conceitos de autovalores e autovetores (ou mais precisamente, autovalores e autofunções).
O que precisamos: Precisamos aplicar o operador
à função
e verificar se o resultado é igual a
, onde
. Isso confirmará que
é um autovalor e
é a correspondente autofunção.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o operador
à função
. Pelo enunciado,
, ou seja,
calcula a segunda derivada de
.
Vamos calcular a segunda derivada de
:
A primeira derivada de
em relação a
é:
A segunda derivada de
é:
Portanto:
Passo 3
Agora, comparamos o resultado de
com
, onde
:
Observamos que:
Isso mostra que aplicar o operador
à função
resulta em
.
Passo 4
Conforme a definição de autovalor e autovetor (ou autofunção), se
, então
é um autovalor do operador
e
é a correspondente autofunção.
No nosso caso, vimos que:
Resposta
Portanto, verificamos que
é um autovalor e
é a autofunção associada do operador
.