Ache as dimensões do retângulo de maior área, inscrito na região delimitada pela curva f(x) = 1/20 * (400 - x^2) e o eixo ox.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito na região delimitada pela curva e pelo eixo . Vamos precisar de conhecimentos de cálculo, especificamente de otimização usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da curva . Essa é uma parábola invertida que intercepta o eixo quando e intercepta o eixo quando . Vamos encontrar esses pontos.
Quando :
Então, a curva intercepta o eixo nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos imaginar um retângulo inscrito nessa região. Por simetria, o retângulo terá sua base centralizada no eixo . Vamos chamar a metade da base do retângulo de (onde está entre 0 e 20). Assim, a base total será .
A altura do retângulo será dada pela função .

Passo 4

A área do retângulo pode ser expressa como:
Para simplificar:

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza a área, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero.
Primeiro, a derivada de :
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 6

Agora que temos , vamos encontrar a altura correspondente usando :

Passo 7

Portanto, as dimensões do retângulo de maior área são:
  • Base total: unidades
  • Altura: unidades

Resposta

As dimensões do retângulo de maior área são aproximadamente base = 23,094 unidades e altura = 13,333 unidades.

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