Ache as dimensões do retângulo de maior área, inscrito na região delimitada pela curva
e o eixo ox.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito na região delimitada pela curva
e pelo eixo
. Vamos precisar de conhecimentos de cálculo, especificamente de otimização usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da curva
. Essa é uma parábola invertida que intercepta o eixo
quando
e intercepta o eixo
quando
. Vamos encontrar esses pontos.
Quando
:
Então, a curva intercepta o eixo
nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos imaginar um retângulo inscrito nessa região. Por simetria, o retângulo terá sua base centralizada no eixo
. Vamos chamar a metade da base do retângulo de
(onde
está entre 0 e 20). Assim, a base total será
.
A altura do retângulo será dada pela função
.
Passo 4
A área
do retângulo pode ser expressa como:
Para simplificar:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero.
Primeiro, a derivada de
:
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 6
Agora que temos
, vamos encontrar a altura correspondente usando
:
Passo 7
Portanto, as dimensões do retângulo de maior área são:
- Base total:
unidades - Altura:
unidades
Resposta
As dimensões do retângulo de maior área são aproximadamente base = 23,094 unidades e altura = 13,333 unidades.
Exercícios relacionados
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Calcule
sabendo que
e
Calcule
Resolva, em
, as seguintes equações: