Calcule
arcsen(cos(2 x)) pi / 2 <= x <= pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a expressão no intervalo . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e suas inversas, especificamente o seno e o cosseno, além das identidades trigonométricas que relacionam essas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função é a inversa do seno, ou seja, retorna o ângulo cujo seno é . Além disso, sabemos que pode ser expressa de várias maneiras usando identidades trigonométricas. Uma identidade útil aqui é:
Isso porque .

Passo 3

Com essa identidade, podemos reescrever a expressão original:
Agora, a função retorna se estiver no intervalo . Caso contrário, precisamos ajustar o resultado para que ele fique dentro desse intervalo.

Passo 4

Vamos analisar o argumento dentro do :
Sabemos que está entre e , então:
Como está entre e , que está fora do intervalo principal de , precisamos ajustar usando a periodicidade do seno.

Passo 5

Para fora do intervalo , temos que:
Aplicando isso no nosso caso:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:
Então, a expressão simplifica para:

Resposta

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