Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a expressão
no intervalo
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas e suas inversas, especificamente o seno e o cosseno, além das identidades trigonométricas que relacionam essas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
é a inversa do seno, ou seja, retorna o ângulo cujo seno é
. Além disso, sabemos que
pode ser expressa de várias maneiras usando identidades trigonométricas. Uma identidade útil aqui é:
Isso porque
.
Passo 3
Com essa identidade, podemos reescrever a expressão original:
Agora, a função
retorna
se
estiver no intervalo
. Caso contrário, precisamos ajustar o resultado para que ele fique dentro desse intervalo.
Passo 4
Vamos analisar o argumento dentro do
:
Sabemos que
está entre
e
, então:
Como
está entre
e
, que está fora do intervalo principal de
, precisamos ajustar usando a periodicidade do seno.
Passo 5
Para
fora do intervalo
, temos que:
Aplicando isso no nosso caso:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão:
Então, a expressão
simplifica para:
Resposta
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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
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