Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série infinita dada por . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se soma um valor finito) ou diverge (não soma nada finito). Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries, começando pelo Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A fórmula é:
Se , a série converge; se ou tende ao infinito, a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos calcular essa razão para a nossa série. Aqui, an+1an = (n+1)^2/e^n+1n^2/e^n = (n+1)^2n^2 cdot e^ne^n+1 = (1 + 1n)^2 cdot 1e . Então:
L = limn to infty (1 + 1n)^2 cdot 1e = 1 cdot 1e = 1e
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Passo 4
Agora que temos , e sabemos que , que é menor que 1. De acordo com o Teste da Razão, como , a série converge.
Passo 5
Sabendo que a série converge, queremos encontrar a soma dela. A série sumn=0^infty n^2 x^n = x(1 + x)(1 - x)^3 é uma série de potência com sumn=1^infty n^2e^n = 1e(1 + 1e)(1 - 1e)^3 = 1e cdot e + 1e(e - 1e)^3 = e + 1e^2(e - 1)^3e^3 = (e + 1)e(e - 1)^3 = e(e + 1)(e - 1)^3 . Existe uma fórmula para somar séries do tipo , que é:
Como nossa série começa em , não precisa se preocupar, pois o termo é zero. Substituindo na fórmula: