Ache a distäncia de um ponto D a um plano pi que passa pelos pontos não-alinhados A, B, C, conhecendo A B, A C, A D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a distância do ponto D até um plano pi. Esse plano passa pelos pontos A, B e C, que não estão alinhados. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, produto vetorial (ou cruzado) e produto escalar. Basicamente, vamos calcular um vetor normal ao plano e depois usar esse vetor para encontrar a distância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar um vetor normal ao plano pi. Como pi passa pelos pontos A, B e C, podemos usar os vetores AB e AC para isso. O produto vetorial desses dois vetores nos dá um vetor que é perpendicular ao plano, ou seja, um vetor normal.
Então, calculamos:
n = AB times AC
Aqui, n é o vetor normal ao plano.

Passo 3

Agora que temos o vetor normal n, podemos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano. A fórmula geral para a distância d do ponto D ao plano é:
d = |n cdot AD||n|
Vamos entender os componentes dessa fórmula:
  • n cdot AD é o produto escalar entre o vetor normal e o vetor que vai de A até D.
  • |n| é a norma (ou módulo) do vetor normal, que basicamente nos dá o tamanho desse vetor.

Passo 4

Vamos detalhar cada parte da fórmula:
  1. Produto Escalar ( n cdot AD): Esse produto nos dá uma medida de quão “alinhado” está o vetor AD com o vetor normal n. O valor absoluto desse produto nos dá a magnitude dessa projeção, que é essencial para calcular a distância.
  2. Norma do Vetor Normal ( |n|): Calculamos a norma do vetor normal para normalizar a distância, garantindo que a distância seja uma medida real, independente da magnitude de n.

Passo 5

Agora, juntando tudo:
  1. Calcule o vetor normal ao plano usando o produto vetorial:
n = AB times AC
  1. Calcule o produto escalar entre o vetor normal e AD:
n cdot AD
  1. Calcule a norma do vetor normal:
|n|
  1. Aplique a fórmula da distância:
d = |n cdot AD||n|

Resposta

A distância do ponto D ao plano pi é dada por:
d = |AB times AC cdot AD||AB times AC|

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