Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss, que também é conhecido como eliminação de Gauss. Esse método ajuda a simplificar o sistema transformando a matriz das equações em uma forma triangular, facilitando encontrar os valores das incógnitas. Para isso, vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para eliminar variáveis passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações em forma de matriz aumentada:
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna, exceto a última, representa os coeficientes de , e . A última coluna é o lado direito das equações.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal todos os elementos são zeros. Vamos começar eliminando o das equações abaixo da primeira.
Para isso, observamos o primeiro elemento da primeira linha, que é . Vamos usar essa linha para eliminar o das linhas 2 e 3.

Passo 4

Primeiro, vamos multiplicar a primeira linha por para tornar o coeficiente de igual a 1:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o da segunda e terceira linhas. Para isso, adicionamos a primeira linha à segunda linha e subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
A matriz fica assim:

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna da segunda linha, que é 4. Vamos usar esse número para eliminar o da terceira linha. Primeiro, podemos deixar o coeficiente de igual a 1 dividindo a segunda linha por 4:

Passo 7

Agora, para eliminar o da terceira linha, adicionamos 4 vezes a segunda linha à terceira linha:
Terceira linha:
A matriz fica assim:

Passo 8

Agora que a matriz está em forma triangular superior, podemos resolver as variáveis começando pela última linha. Da terceira linha, temos:

Passo 9

Usando o valor de na segunda linha:

Passo 10

Agora, usamos os valores de e na primeira linha:

Resposta

A solução do sistema é:

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