Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss (matrizes escalonadas)
r -2 x1-6 x2-3 x3=9 -x1+x2-x3=1 x1-x2+2 x3=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss, que também é conhecido como eliminação de Gauss. Esse método ajuda a simplificar o sistema transformando a matriz das equações em uma forma triangular, facilitando encontrar os valores das incógnitas. Para isso, vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para eliminar variáveis passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações em forma de matriz aumentada:
-2 & -6 & -3 & | & 9 -1 & 1 & -1 & | & 1 1 & -1 & 2 & | & 2
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna, exceto a última, representa os coeficientes de , e . A última coluna é o lado direito das equações.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal todos os elementos são zeros. Vamos começar eliminando o das equações abaixo da primeira.
Para isso, observamos o primeiro elemento da primeira linha, que é . Vamos usar essa linha para eliminar o das linhas 2 e 3.

Passo 4

Primeiro, vamos multiplicar a primeira linha por 1 & 3 & 1.5 & | & -4.5 -1 & 1 & -1 & | & 1 1 & -1 & 2 & | & 2 para tornar o coeficiente de igual a 1:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o (-1) + 1 = 0 1 + 3 = 4 -1 + 1.5 = 0.5 1 + (-4.5) = -3.5 da segunda e terceira linhas. Para isso, adicionamos a primeira linha à segunda linha e subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Segunda linha:
1 - 1 = 0 -1 - 3 = -4 2 - 1.5 = 0.5 2 - (-4.5) = 6.5
Terceira linha:
1 & 3 & 1.5 & | & -4.5 0 & 4 & 0.5 & | & -3.5 0 & -4 & 0.5 & | & 6.5
A matriz fica assim:

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna da segunda linha, que é 4. Vamos usar esse número para eliminar o 1 & 3 & 1.5 & | & -4.5 0 & 1 & 0.125 & | & -0.875 0 & -4 & 0.5 & | & 6.5 da terceira linha. Primeiro, podemos deixar o coeficiente de igual a 1 dividindo a segunda linha por 4:

Passo 7

Agora, para eliminar o 0 + 0 = 0 -4 + (4 times 1) = 0 0.5 + (4 times 0.125) = 1 6.5 + (4 times -0.875) = 6.5 - 3.5 = 3 da terceira linha, adicionamos 4 vezes a segunda linha à terceira linha:
Terceira linha:
1 & 3 & 1.5 & | & -4.5 0 & 1 & 0.125 & | & -0.875 0 & 0 & 1 & | & 3
A matriz fica assim:

Passo 8

Agora que a matriz está em forma triangular superior, podemos resolver as variáveis começando pela última linha. Da terceira linha, temos:
x3 = 3

Passo 9

Usando o valor de x2 + 0.125 x3 = -0.875 x2 + 0.125 times 3 = -0.875 x2 + 0.375 = -0.875 x2 = -0.875 - 0.375 x2 = -1.25 na segunda linha:

Passo 10

Agora, usamos os valores de x1 + 3x2 + 1.5x3 = -4.5 x1 + 3 times (-1.25) + 1.5 times 3 = -4.5 x1 - 3.75 + 4.5 = -4.5 x1 + 0.75 = -4.5 x1 = -4.5 - 0.75 x1 = -5.25 e na primeira linha:

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = -5.25, x2 = -1.25, x3 = 3

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