Prove que se , então são linearmente dependentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se , então os vetores , e são linearmente dependentes. Isso está no contexto de Álgebra Linear, mais especificamente envolvendo conceitos de combinações lineares e dependência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como o produto externo (representado por ) se relaciona com isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é dependência linear. Vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existem escalares (não todos zero) , , tal que:

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação dada: . O símbolo representa o produto externo (ou produto vetorial no caso de 3 dimensões). Esse produto resulta em um vetor perpendicular aos vetores originais, e a soma igual a zero sugere uma relação específica entre , e .

Passo 4

Para mostrar que os vetores são linearmente dependentes, vamos supor que eles não são. Se forem linearmente independentes, o conjunto forma uma base em . Nesse caso, a única solução para a combinação linear ser zero seria , o que contraria a definição de dependência linear.

Passo 5

No entanto, a equação implica que há uma relação não trivial (não todas as variáveis zero) entre os vetores através do produto externo. Essa relação somente é possível se os vetores não forem linearmente independentes, ou seja, se forem linearmente dependentes.

Passo 6

Portanto, concluímos que a condição dada força uma relação de dependência entre , e . Logo, os vetores , e são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores , e são linearmente dependentes.

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