Prove que se u wed>= v+v wed>= w+w wed>= u=0, então u, v, w são linearmente dependentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se u wed>= v + v wed>= w + w wed>= u = 0, então os vetores u, v e w são linearmente dependentes. Isso está no contexto de Álgebra Linear, mais especificamente envolvendo conceitos de combinações lineares e dependência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como o produto externo (representado por wed>=) se relaciona com isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é dependência linear. Vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existem escalares (não todos zero) a, b, c tal que:
au + bv + cw = 0

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação dada: u wed>= v + v wed>= w + w wed>= u = 0. O símbolo wed>= representa o produto externo (ou produto vetorial no caso de 3 dimensões). Esse produto resulta em um vetor perpendicular aos vetores originais, e a soma igual a zero sugere uma relação específica entre u, v e w.

Passo 4

Para mostrar que os vetores são linearmente dependentes, vamos supor que eles não são. Se forem linearmente independentes, o conjunto u, v, w forma uma base em R^3. Nesse caso, a única solução para a combinação linear ser zero seria a = b = c = 0, o que contraria a definição de dependência linear.

Passo 5

No entanto, a equação u wed>= v + v wed>= w + w wed>= u = 0 implica que há uma relação não trivial (não todas as variáveis zero) entre os vetores através do produto externo. Essa relação somente é possível se os vetores não forem linearmente independentes, ou seja, se forem linearmente dependentes.

Passo 6

Portanto, concluímos que a condição dada força uma relação de dependência entre u, v e w. Logo, os vetores u, v e w são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores u, v e w são linearmente dependentes.

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