Prove que se
, então
são linearmente dependentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se
, então os vetores
,
e
são linearmente dependentes. Isso está no contexto de Álgebra Linear, mais especificamente envolvendo conceitos de combinações lineares e dependência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e como o produto externo (representado por
) se relaciona com isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é dependência linear. Vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existem escalares (não todos zero)
,
,
tal que:
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação dada:
. O símbolo
representa o produto externo (ou produto vetorial no caso de 3 dimensões). Esse produto resulta em um vetor perpendicular aos vetores originais, e a soma igual a zero sugere uma relação específica entre
,
e
.
Passo 4
Para mostrar que os vetores são linearmente dependentes, vamos supor que eles não são. Se forem linearmente independentes, o conjunto
forma uma base em
. Nesse caso, a única solução para a combinação linear ser zero seria
, o que contraria a definição de dependência linear.
Passo 5
No entanto, a equação
implica que há uma relação não trivial (não todas as variáveis zero) entre os vetores através do produto externo. Essa relação somente é possível se os vetores não forem linearmente independentes, ou seja, se forem linearmente dependentes.
Passo 6
Portanto, concluímos que a condição dada força uma relação de dependência entre
,
e
. Logo, os vetores
,
e
são linearmente dependentes.
Resposta
Os vetores
,
e
são linearmente dependentes.