Prove: [u+alpha v+beta w, v+gamma w, w]=[u, v, w].

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar que o produto misto é igual a . Aqui, estamos trabalhando com produto misto de vetores, que é um conceito de álgebra vetorial. Para resolver isso, precisaremos usar propriedades do produto misto e operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. Para três vetores , e , o produto misto é definido como . Ele representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação que queremos provar:
[u + alpha v + beta w, v + gamma w, w]
Usando a propriedade distributiva do produto vetorial e escalar, podemos distribuir os termos.

Passo 4

Vamos expandir passo a passo:
[u + alpha v + beta w, v + gamma w, w] = (u + alpha v + beta w) cdot [(v + gamma w) times w]
Primeiro, calculamos o produto vetorial .

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
(v + gamma w) times w = v times w + gamma w times w
Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, então (v + gamma w) times w = v times w . Assim:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
(u + alpha v + beta w) cdot (v times w) = u cdot (v times w) + alpha v cdot (v times w) + beta w cdot (v times w)
Aqui, usamos a distributividade do produto escalar.

Passo 7

Agora, vamos analisar cada termo:
  1. é simplesmente .
  2. porque o produto escalar de um vetor com o produto vetorial dele mesmo com outro vetor é zero.
  3. pelo mesmo motivo acima.

Passo 8

Portanto, nossa expressão simplifica para:
u cdot (v times w) + alpha cdot 0 + beta cdot 0 = [u, v, w]
Ou seja, conseguimos mostrar que:
[u + alpha v + beta w, v + gamma w, w] = [u, v, w]

Resposta

Provar que é verdadeiro, conforme demonstrado acima.

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