Prove: .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar que o produto misto é igual a . Aqui, estamos trabalhando com produto misto de vetores, que é um conceito de álgebra vetorial. Para resolver isso, precisaremos usar propriedades do produto misto e operações com vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. Para três vetores , e , o produto misto é definido como . Ele representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação que queremos provar:
Usando a propriedade distributiva do produto vetorial e escalar, podemos distribuir os termos.

Passo 4

Vamos expandir passo a passo:
Primeiro, calculamos o produto vetorial .

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, então . Assim:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
Aqui, usamos a distributividade do produto escalar.

Passo 7

Agora, vamos analisar cada termo:
  1. é simplesmente .
  2. porque o produto escalar de um vetor com o produto vetorial dele mesmo com outro vetor é zero.
  3. pelo mesmo motivo acima.

Passo 8

Portanto, nossa expressão simplifica para:
Ou seja, conseguimos mostrar que:

Resposta

Provar que é verdadeiro, conforme demonstrado acima.

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