Prove:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar que o produto misto
é igual a
. Aqui, estamos trabalhando com produto misto de vetores, que é um conceito de álgebra vetorial. Para resolver isso, precisaremos usar propriedades do produto misto e operações com vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. Para três vetores
,
e
, o produto misto
é definido como
. Ele representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores.
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação que queremos provar:
Usando a propriedade distributiva do produto vetorial e escalar, podemos distribuir os termos.
Passo 4
Vamos expandir passo a passo:
Primeiro, calculamos o produto vetorial
.
Passo 5
Calculando o produto vetorial:
Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, então
. Assim:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão original:
Aqui, usamos a distributividade do produto escalar.
Passo 7
Agora, vamos analisar cada termo:
-
é simplesmente . -
porque o produto escalar de um vetor com o produto vetorial dele mesmo com outro vetor é zero. -
pelo mesmo motivo acima.
Passo 8
Portanto, nossa expressão simplifica para:
Ou seja, conseguimos mostrar que:
Resposta
Provar que
é verdadeiro, conforme demonstrado acima.