Calcule o volume do tetraedro ABCD dados A B=(1,1,0), A C=(0,1,1), A D=(-4,0,0).

Passo 1

Vamos calcular o volume do tetraedro ABCD. A matéria que vamos usar é a geometria vetorial, especificamente o produto escalar e o produto vetorial. Precisamos das coordenadas dos vetores AB, AC e AD para aplicar a fórmula do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume V = 16 | AB cdot ( AC times AD ) | de um tetraedro pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui, é o produto misto dos três vetores, que nos dá um valor escalar.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial AC = (0, 1, 1) e AD = (-4, 0, 0) . Primeiro, identificamos os componentes dos vetores:
AC times AD = i & j & k 0 & 1 & 1 -4 & 0 & 0
O produto vetorial é dado por:
AC times AD = i(1 cdot 0 - 1 cdot 0) - j(0 cdot 0 - 1 cdot (-4)) + k(0 cdot 0 - 1 cdot (-4))
Calculando o determinante:
= i(0) - j(4) + k(4)
= (0, -4, 4)

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar AB = (1, 1, 0) . Sabemos que:
AC times AD = (0, -4, 4)
AB cdot (AC times AD) = 1 cdot 0 + 1 cdot (-4) + 0 cdot 4 = 0 - 4 + 0 = -4
O produto escalar é:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do volume:
V = 16 | -4 | = 16 times 4 = 23

Resposta

O volume do tetraedro ABCD é unidades cúbicas.

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