Calcular a distância entre os planos pi1: x+y+z-4=0 e pi2: 2 x+2 y+2 z-5=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a distância entre dois planos:
pi1: x + y + z - 4 = 0
pi2: 2x + 2y + 2z - 5 = 0
Vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre dois planos paralelos. Para isso, precisamos identificar os vetores normais dos planos e aplicar a fórmula correta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos dois planos. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
  • Para , o vetor normal é .
  • Para , o vetor normal é .
Como , os planos são paralelos, o que nos permite usar a fórmula de distância entre planos paralelos.

Passo 3

Vamos ajustar a equação do segundo plano para que ele tenha o mesmo vetor normal que o primeiro plano. Dividindo todos os termos da equação de pi2: 2x + 2y + 2z - 52 = 0 implies x + y + z - 52 = 0 por 2:
pi1: x + y + z - 4 = 0
Agora, as equações dos planos ficam:
pi2: x + y + z - 52 = 0

Passo 4

A fórmula para a distância D = |d2 - d1|raiza^2 + b^2 + c^2 entre dois planos paralelos e é:
No nosso caso, comparando com as equações ajustadas:
  • , ,

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
D = | -52 - (-4) |raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = | -52 + 4 |raiz3 = | 32 |raiz3 = 32raiz3 = 32raiz3 = raiz32

Resposta

A distância entre os dois planos é unidades.

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