Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto médio do segmento de extremos
e
e que seja perpendicular a esse segmento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação geral do plano que passa pelo ponto médio do segmento de A(1, -2, 2) e B(-3, 1, -2), e que seja perpendicular a esse segmento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como ponto médio e vetor normal ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o ponto médio do segmento que liga A e B. A fórmula para o ponto médio
entre dois pontos
e
é:
Aplicando os valores de A e B:
Passo 3
Agora, precisamos determinar o vetor que representa o segmento AB. Esse vetor serve como o vetor normal ao nosso plano, já que o plano é perpendicular ao segmento. A fórmula para o vetor
é:
Calculando:
Então, o vetor normal ao plano ��
.
Passo 4
Com o ponto médio
e o vetor normal
, podemos usar a fórmula geral da equação do plano:
Onde
é o ponto pelo qual o plano passa e
são as componentes do vetor normal.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A equação geral do plano é: