Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A= (1,-2,2) e B=(-3,1,-2) e que seja perpendicular a esse segmento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação geral do plano que passa pelo ponto médio do segmento de A(1, -2, 2) e B(-3, 1, -2), e que seja perpendicular a esse segmento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como ponto médio e vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto médio do segmento que liga A e B. A fórmula para o ponto médio M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) entre dois pontos M = ( 1 + (-3)2, -2 + 12, 2 + (-2)2 ) = ( -22, -12, 02 ) = (-1, -0.5, 0) e é:
Aplicando os valores de A e B:

Passo 3

Agora, precisamos determinar o vetor que representa o segmento AB. Esse vetor serve como o vetor normal ao nosso plano, já que o plano é perpendicular ao segmento. A fórmula para o vetor AB = (xB - xA, yB - yA, zB - zA) é:
AB = (-3 - 1, 1 - (-2), -2 - 2) = (-4, 3, -4)
Calculando:
Então, o vetor normal ao plano �� .

Passo 4

Com o ponto médio a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e o vetor normal -4(x - (-1)) + 3(y - (-0.5)) -4(z - 0) = 0 , podemos usar a fórmula geral da equação do plano:
-4(x + 1) + 3(y + 0.5) -4z = 0
Onde -4x -4 + 3y +1.5 -4z = 0 é o ponto pelo qual o plano passa e -4x + 3y -4z -2.5 = 0 são as componentes do vetor normal.
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é:
-4x + 3y - 4z = 2.5

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Determine k, para que o sistema admita solução.
-4 x+3 y & =2 5 x-4 y & =0 2 x-y & =k