Ache a distância entre as retas r1 e r2 nos casos: r1:lx=2-t y=3+t z=1-2 t r2:lx=t y=-1-3 t z=2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente achar a distância entre duas retas no espaço. Isso faz parte da Geometria Analítica, onde a gente usa vetores para entender posições e direções no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar identificar os vetores diretores das retas, escolher pontos em cada uma delas, e usar produtos vetoriais e escalares para calcular a distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas. Olhando as equações paramétricas:
Para a reta x = 2 - t y = 3 + t z = 1 - 2t :
d1 = (-1, 1, -2)
O vetor diretor é dado pelos coeficientes de x = t y = -1 - 3t z = 2t :
d2 = (1, -3, 2)
Para a reta :
O vetor diretor é:

Passo 3

Agora, vamos escolher pontos em cada reta para facilitar nossos cálculos. Geralmente, é mais fácil pegar o ponto quando P1 = (2, 3, 1) .
Para P2 = (0, -1, 0) com :
Para com :

Passo 4

Vamos formar o vetor que vai de P1P2 = P2 - P1 = (0 - 2, -1 - 3, 0 - 1) = (-2, -4, -1) até subtraindo as coordenadas:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o produto vetorial dos vetores diretores d1 times d2 = i & j & k -1 & 1 & -2 1 & -3 & 2 e d1 times d2 = (-4, 0, 2) :
Calculando o determinante:

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar entre P1P2 cdot (d1 times d2) = (-2)(-4) + (-4)(0) + (-1)(2) = 8 + 0 - 2 = 6 e :

Passo 7

Finalmente, a fórmula para a distância D = |P1P2 cdot (d1 times d2)||d1 times d2| entre duas retas é:
|d1 times d2| = raiz(-4)^2 + 0^2 + 2^2 = raiz16 + 0 + 4 = raiz20 = 2raiz5
Calculando a norma de D = 62raiz5 = 3raiz5 = 3raiz55 :
Então:

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

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