Considere os planos .
Mostre que e não são paralelos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os planos e não são paralelos. Para resolver isso, vamos usar geometria analítica, mais especificamente, vamos analisar os vetores normais de cada plano. Precisamos entender se esses vetores são paralelos ou não para concluir se os planos também são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano na forma geral é dado por .
  • Para o plano , o vetor normal é .
  • Para o plano , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores normais e são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro, ou seja, existe um número tal que:
Vamos ver se isso é possível:
  • Comparando as componentes:
    •  → 
    •  → 
    •  → 
Vimos que não existe um único valor de que satisfaz todas as três equações simultaneamente.

Passo 4

Como não existe um único que torna um múltiplo de , concluímos que os vetores normais não são paralelos.

Resposta

Portanto, os planos e não são paralelos.

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Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares:
Considere e bases para . Se
determine .
Ache a distância entre as retas e nos casos:
Ache a distância entre as retas e nos casos: