Considere os planos : x y+3 z=1, beta: 2 x 3 y z=2.
Mostre que e beta não são paralelos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os planos alpha: x + y + 3z = 1 e beta: 2x + 3y + z = 2 não são paralelos. Para resolver isso, vamos usar geometria analítica, mais especificamente, vamos analisar os vetores normais de cada plano. Precisamos entender se esses vetores são paralelos ou não para concluir se os planos também são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano na forma geral Ax + By + Cz = D é dado por (A, B, C).
  • Para o plano alpha: x + y + 3z = 1, o vetor normal é nalpha = (1, 1, 3).
  • Para o plano beta: 2x + 3y + z = 2, o vetor normal é nbeta = (2, 3, 1).

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores normais nalpha e nbeta são paralelos. Dois vetores são paralelos se um for múltiplo escalar do outro, ou seja, existe um número lambda tal que:
nbeta = lambda nalpha
Vamos ver se isso é possível:
  • Comparando as componentes:
    • 2 = lambda cdot 1  →  lambda = 2
    • 3 = lambda cdot 1  →  lambda = 3
    • 1 = lambda cdot 3  →  lambda = 13
Vimos que não existe um único valor de lambda que satisfaz todas as três equações simultaneamente.

Passo 4

Como não existe um único lambda que torna nbeta um múltiplo de nalpha, concluímos que os vetores normais não são paralelos.

Resposta

Portanto, os planos alpha e beta não são paralelos.

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