Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformaçōes lineares: T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(x,-2 x-y, 2 x+y+2 z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformação linear juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores próprios e os vetores próprios da transformação linear definida por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e autovalores/autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T(x, y, z) = x -2x - y 2x + y + 2z como uma matriz. A matriz associada a A = 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 0 2 & 1 & 2 é aquela que, quando multiplicada pelo vetor , resulta em . Observando a transformação dada:
Podemos montar a matriz de :

Passo 3

Agora, para encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 -2 & -1 - lambda & 0 2 & 1 & 2 - lambda
Onde é a matriz identidade de ordem 3 e representa os autovalores.
Primeiro, vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det -1 - lambda & 0 1 & 2 - lambda
Calculando o determinante da matriz 2x2:
det -1 - lambda & 0 1 & 2 - lambda = (-1 - lambda)(2 - lambda) - (0 cdot 1) = (-1 - lambda)(2 - lambda)
Então, o determinante total fica:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-1 - lambda)(2 - lambda) = 0

Passo 5

Para encontrar os valores próprios, igualamos cada fator a zero:
1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
-1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = -1
2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2
Então, os valores próprios são , e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Para cada A - I = 0 & 0 & 0 -2 & -2 & 0 2 & 1 & 1 , resolvemos o sistema -2y = 0 2x + y + z = 0 , onde 2x + z = 0 Rightarrow z = -2x é o vetor próprio.
Para A + I = 2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 2 & 1 & 3 :
2x = 0 -2x = 0 2x + y + 3z = 0
Resolvendo o sistema:
y + 3z = 0 Rightarrow y = -3z
Da primeira equação, A - 2I = -1 & 0 & 0 -2 & -3 & 0 2 & 1 & 0 . Substituindo na segunda:
- x = 0 -2x - 3y = 0 2x + y = 0
Então, o vetor próprio é da forma y = 0 .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na terceira:
Então, o vetor próprio é da forma .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na terceira:
A terceira variável é livre. Então, o vetor próprio é da forma .

Resposta

Os valores próprios da transformação lambda1 = 1 &: v1 = (1,, 0,, -2) lambda2 = -1 &: v2 = (0,, -3,, 1) lambda3 = 2 &: v3 = (0,, 0,, 1) são , e . Os vetores próprios correspondentes são:

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