Considere o plano de equação 2 x+y z=4 e a reta r de equação (x, y, z)= (0,3, 4)+t(1, 1,2).
Determine o ponto P=r cap.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um plano com a equação e uma reta definida pelas equações . Queremos encontrar o ponto onde a reta intersecta o plano, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que envolvem encontrar a interseção entre uma reta e um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas da reta x = 0 + t cdot 1 = t de maneira mais clara:
y = 3 + t cdot 1 = 3 + t
z = 4 + t cdot 2 = 4 + 2t
Aqui, é um parâmetro que varia ao longo da reta . Cada valor de nos dá um ponto diferente na reta.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões de 2(t) + (3 + t) + (4 + 2t) = 4 , e na equação do plano para encontrar o valor de que faz a reta pertencer ao plano. Substituindo na equação :

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar 2t + 3 + t + 4 + 2t = 4 :
(2t + t + 2t) + (3 + 4) = 4
5t + 7 = 4
5t = 4 - 7
5t = -3
t = -35

Passo 5

Com o valor de x = t = -35 , vamos substituir de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto y = 3 + t = 3 - 35 = 155 - 35 = 125 :
z = 4 + 2t = 4 + 2(-35) = 4 - 65 = 205 - 65 = 145

Resposta

O ponto de interseção entre a reta e o plano é .

Exercícios relacionados